离散数学-第1章-集合论.pptVIP

* 例1.2.9 设A = {a}是一个集合，B = {{a}, {{a}}}，试问 {A}∈B和{A}?B 同时成立吗？ ∵ {A} = {{a}}，{{a}}∈B ∴ {A}∈B成立； ∵ {A} = {{a}}，{a}∈B ∴ {A}?B成立。 解 {A}∈B和A?B同时成立。 分析 * 1.2.4 几个特殊集合 定义1.2.3 不含任何元素的集合叫做空集(Empty Set)，记作Φ。 空集可以符号化为 Φ = {x|x≠x} 空集是客观存在的。 1、空集 例1.2.10? 设A = {x|(x∈R)且(x20)}， 试列举集合A中的所有元素。 解 A = Φ。 定理1.2.3 （1）空集是一切集合的子集； （2）空集是绝对唯一的。 * 定理1.2.3 （2）的证明 对“唯一性”的证明通常采用反证法。 即假设“不唯一”，得出矛盾，从而说明结论正确 假设Φ1和Φ2是两个空集，且Φ1≠Φ2， 再证明Φ1＝Φ2，出现矛盾，从而说明结论成立。 那么怎么证明Φ1＝Φ2？ 分析 根据定理1.2.3 （1）空集是一切集合的子集 ∴ Φ1 ? Φ2， Φ2 ? Φ1， 根据定理1.2.2， Φ1＝Φ2 ? Φ1?Φ2，Φ2?Φ1 与Φ1≠Φ2矛盾 * 定义1.2.4 在一个相对固定的范围内，包含此范围内所有元素的集合，称为全集或论集(Universal Set)，用U或E表示。 用文氏图描述如下: U 2、全集 * 例1.2.12 （1）在立体几何中，全集是由空间的全体点组成； （2）在我国的人口普查中，全集是由我国所有人组成。 定理1.2.5 全集是相对唯一的. * 集合A中元素的数目称为集合A的基数（base number)，记为|A|。 如|A|是有限的，则称集合A为有限集， 如|A|是无限的，则称集合A为无限集。 例1.2.13? 求下列集合的基数。 （1）A =Φ?；? （2）B = {Φ}； （3）C = {a, b, c}；（4）D = {a, {b, c}}。 解 |A| = 0，|B| = 1，|C| = 3，|D| = 2。 有限集和无限集 * m元子集 定义1.2.6? 如果一个集合A含有n个元素，则称集合A为n元集，称A的含有m个(0≤m≤n)元素的子集为A的m元子集。 任给一个n元集，怎样求出它的全部m元子集？ 例1.2.14? 设A={1,2}，求出A的全部m元子集。 ∵n=|A| = 2，m≤n ∴ m=0,1,2。 ∴当 m=0 时，得到0元子集：Φ； 当 m=1 时，得到1元子集：{1}, {2}； 当 m=2 时，得到2元子集：{1, 2}。 解 ?A的全部m元子集是Φ、{1}、{2}和{1, 2}。 分析 * 子集总数 一般来说，对于n元集A，它的m（0?m?n）元子集有 个，所以不同的子集总数有： ＝(1+1)n＝2n 所以，n元集共有2n个子集。 * 幂集 定义1.2.7 设A为任意集合，把A的所有不同子集构 成的集合叫做A的幂集(power set)，记为P(A)或2A 。 其符号化表示为 P(A)＝{x|一切x?A} 该集合又称为集族(family of set)。 对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义。 * 例1.2.15 计算下列幂集 （1）P(Φ)；（2）P({Φ})；（3）P({a,{b,c}})。 解? （1）P(Φ) = {Φ}； （2）P({Φ}) = {Φ, {Φ}}； （3）P({a,{b,c}})={Φ,{a},{{b,c}},{a,{b,c}}}。 显然，若集合Ａ有ｎ个元素，则集合Ａ共有2|A|个子集，即： |P(A)|＝ 2|A|。 * 1.2.5 集合的运算 定义1.2.8 设A、B是两个集合， (1)并集 A?B={x|x?A或x?B} (2)交集 A?B={x|x?A且x?B} (3)差集 A-B={x|x?A且x?B} (4)补集 =U-A={x|x?U且x?A}(Ａ′,～Ａ,AC) (5)对称差集 A?B={x|(x?A)且(x?B)或(x?B)且(x?A)} U A B 并集 U A B 差集 A B U 对称差集 U A B 交集 U A 补集 * 推广 A1∪A2∪A3∪……∪An ={x|(x?A1)或(x?A2)或……或(x?An)} ＝A1∩A2∩A3∩……∩An ＝{x|(x?A1)且(x?A2)且……且(x?An)} 当n无限增大时，可以记为： ＝A1∪A2∪A3∪… ＝ A