高二算术平均数与几何平均数训练题.docVIP

算术平均数与几何平均数训练题 一、选择题 (1)若x，y∈R＋，且x＋y＝S，xy＝P，则下列命题中正确的是( ) A.当且仅当x＝y时，S有最小值2 B.当且仅当x＝y时，P有最大值 C.当且仅当P为定值时，S有最小值2 D.若S为定值，则当且仅当x＝y时，P有最大值 (2)ab没有最大值的条件是( ) A.a2＋b2为定值 B.a，b∈R＋，且a＋b为定值 C.a，b∈R－，且a＋b为定值 D.ab＜0，且a＋b为定值 (3)设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，若M＝(－1)(－1)(－1)，则必有( ) A.0≤M＜ B. ≤M＜1 Ｃ.1≤M＜８ D.M≥８ (4)下列不等式中恒成立的是( ) A.cotα＋tanα≥2 B.x＋－1≥2 Ｃ.≥2 D.xyz≤（已知x＋y＋z＝1) (5)当x＞0时，y＝3x＋的最小值应是( ) A.y＝3x＋＝x＋x＋≥3· B.y＝3x＋＝x＋2x＋≥3 Ｃ.y＝3x＋＝ D.y＝3x＋＝x＋x＋＋≥4· (6)当x∈R＋时，可得到不等式x＋≥2，x＋≥3，由此可推广为x＋≥n＋1，其中P等于( ) A. B. Ｃ. D. 二、填空题 (7)当x＞0时，函数y＝９x2＋的最小值为 . (8)若a＞2，b＞3，则a＋b＋的最小值为 . (9)若lgx＋lgy＝2，则的最小值为 . (10)函数y＝x的最大值为 . (11)若直角三角形的斜边长为1，则其内切圆的半径的最大值为 . 三、解答题 （12）求函数y＝的值域. （13）设x，y，z＞0，且2x＋3y＋５z＝６，求xyz的最大值. （14）从边长为2a的正方形纸片的四角各剪去一小块边长为x（0＜x＜a)的正方形后再折成一个无盖的盒子，则x为何值时，盒子容积最大?求容积的最大值. （15）已知直角△ABC中，周长为L，面积为S，求证：4S≤（3－2）L2. （16）对任意实数x、y，求S＝x2＋2xy＋3y2＋2x＋６y＋4的最小值. （17）求函数y＝的最小值，其中a＞0. 算术平均数与几何平均数训练题参考答案： 1．D 2．D 3．D 4．B 5．A 6．A 7．12 8．8 9． 10． 11． 12．解：显然，y≥0，且当x＝0时，有y＝0. y＝且当x＝1时，有y最大值＝. 故函数y＝的值域为［0，］. 13．解：∵x，y，z＞0，且2x＋3y＋５z＝６ ∴2＝ ∴30xyz≤８，即xyz≤ 当且仅当2x＝3y＝５z＝2，即x＝1，y＝，z＝时，xyz有最大值. 故xyz的最大值为. 14．解：∵0＜x＜a ∴a－x＞0， 依题意，得Ｖ＝x（2a－2x）2＝2·2x·（a－x）（a－x） ≤2·［］3＝a3 当且仅当2x＝a－x，即x＝时，盒子的容积最大，且容积的最大值为a3. 15．解：设直角△ABＣ的两直角边为x、y，则斜边为则S＝ ∴Ｌ＝x＋y＋≥2 ∴4S≤，故4S≤（3－2）L2. 16．解：∵x，y∈R ∴S＝x2＋2xy＋3y2＋2x＋６y＋4＝（x＋y＋1）2＋2（y＋1）2＋1≥1 当x＝0，y＝－1时，S取最小值1 故S＝x2＋2xy＋3y2＋2x＋６y＋4的最小值为1. 17．解：∵a＞0 ∴（1）当0＜a≤1时，y＝≥2， 当且仅当x＝±时，y最小值＝2. (2)当a＞1时，令＝t（t≥）， 则有y＝f（t）＝t＋ ，设t2＞t1≥＞1，则 f（t2）－f（t1）＝＞0 ∴f（t）在［，＋∞］上是增函数 ∴y最小值＝f（）＝，此时x＝0. 综合(1)(2)可知：当0＜a≤1，x＝±时，y最小值＝2， 当a＞1，x＝0时，y最小值＝. 王新敞 新疆奎屯市一中 第 1页（共6页）