hzf第5章节——用差分法和变分法解平面问题.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 求出边界上各结点的值，如下图所示。 结点 A B CDEGH I J 0 0 0 0 0 0 0 0 读者可检验，上述的值反映了边界结点 和边界外一行虚结点上 值的对称性。 * F/2 F/2 F/2 -Fh/2 -Fh/2 -Fh 由 得到 由 得到 * ⑶ 计算边界外一行结点的 值。 ⑷ 对内结点1、2、3、4分别列出下列类型 的方程： 0点： * 对结点1， 对结点2， * 对结点3， 对结点4， 解出 ⑸按照应力公式 及 ，求得AJ及EI截面上的应力分量： * 例题4 试证明，在同样的应变分量 ， 和 下，平面应变情况下单位厚度的形变 势能大于平面应力情况下的形变势能。 * 例题 * 对于平面应变情况，只需将上式中 ， 变换为 解：平面应力情况下，单位厚度的形变 势能是： 例题 (a) 代入，得 显然，方括号内 将式⑴中的 ， 都作为式(b)的变换，整理后得平面应变情况下的形变势能公式， * 例题 (c) 从式⑶可见，在平面应变情况下，形变势能 中的第一、二、三项均大于平面应力情况下的值，而第四项 不变。因此，平面应变的形变势能 大于平面应力的形变势能U 。 * 例题 例题5 图中表示一板块，受到铅直方向均布拉力作用下发生拉伸变形，并使之两端固定下来，若在其中切开一小口AB时，试说明板的形变势能将发生什么变化？ * 例题 C D E F A B 解： ⑴当AB线切开时，AB线上的应力趋于 0。而形变势能是正定的， ，当这部 应力 时，相应的形变势能也失去因 此，板的总的形变势能减少。 ⑵ 当AB线切开后，边界CD和EF仍是固 定的，我们可以比较两种状态： * 例题 (b) AB线张开，出现裂纹。这是稳定的平衡状态。由于系统的稳定平衡状态与邻近的状态相比，总势能处于极小值，而(a)、(b)两种状态的外力势能不变，因此，(b)的形变势能小于(a)，即形变势能将减少。 * 例题 (a) AB切开后，仍然处于闭合状态，不发生 张开。这是不稳定的平衡状态； 例题6 单位厚度 的深梁，两侧边固定，上下边受均布荷载q作用，如图所示。试用位移变分法求解其位移。 （取 ， 并设 ）。 * 例题 q y x b u v b a a o q * 解：在图示荷载作用下，深梁的位移应对称于x轴，而反对称于y轴。 因此，位移分量u应为 、 的奇函数，而v为 x 、y 的偶函数， x y 如图所示。可以设定位移势函数如下： 上式已满足两端的约束边界条件， 以及对称和反对称性条件。以下按瑞利- 里茨法进行计算。 * 例题 假设只取u，v中一项，即 将u和v代入形变势能公式（平面应力问题），得： * 例题 在本题中体力 ，在 边界上只有 的均布荷载， 。由此，瑞利-里茨方程成为 * 例题 再积分求U， * 边界是