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中值定理题型 θ 题型一：中值定理中关于 的问题 【例题1】设f (x ) arctan x ∈C[0, a] ，f (a) −f (0) f ′(θa)a ，求limθ2 。 a→0 1 【解答】 ′ ，由 ′ f (x) 1+x 2 f (a) −f (0) f (θa)a 得 a 2 a −arctan a arctan a θ 2 2 ，解得 2 ， 1+a θ a arctan a 1 1− 2 a −arctan a a −arctan a 1+a 2 1 lim θ lim lim lim a→0+ a→0+ a 2 arctan a a→0+ a 3 a→0+ 3a 2 3 ， 1 lim θ 。 于是a→0+ 3 【例题2 】设f (x ) 二阶连续可导，且f ′′(x ) ≠0 ，又f (x +h) f (x ) +f ′(x +θh)h 0 θ1 （ ）。 1 证明：limθ 。 h→0 2 【解答】由泰勒公式得 ′ f ′′(ξ) 2 f (x +h) f (x ) +f (x )h + h ξ x x +h 2! ，其中 位于 与 之间。 ′ ′ f ′′(ξ) 2 f x +f x +θh h f x +f x h + h 于是 ( ) ( ) ( ) ( ) 2! ，或 f ′(x +θh) −f ′(x ) f ′′(ξ) f ′(x +θh) −f ′(x ) f ′′(ξ) ⋅θ h 2 ，从而有 θh 2 ， 1 limθ 两边取极限再由二阶连续可导得h→0 2 。 题型二：证明f (n) (ξ) 0 常见思路：（1）罗尔定理； （2 ）极值法； （3 ）泰勒公式 【例题1】设f (x ) ∈C[0,3] ，在(0,3) 内可导，且f (0) +f (1) +f (2) 3, f (3) 1 ，证明： 存在ξ ∈(0,3) ，使得f ′(ξ) 0 。 【解答】因为
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