2003年4月高三统考试题解答.doc

襄樊市高三年级统考试题(2003.4) 数学参考答案及评分标准 一．选择题：ABBD AACBB AC 二．填空题：13．x＝　　14．　　15．18　　16．(理)　(文) 三．解答题： 17．解：在△AOB中，　　 3分　　∵0＜x≤　∴0＜≤　因此0＜≤1　　∴ 5分　　∴　　　　 7分 (理科)当≤≤，即≤x≤时，f (x)单调递增　　由于0＜x≤，∴f (x)的单调递增区间为 (0，] 9分　　当≤≤，即≤x≤时，f (x)单调递减　　由于0＜x≤，∴f (x)的单调递减区间为 [，] 12分 (文科)∵0＜x≤，∴＜≤，∴－2≤f (x)≤4 9分　　∴函数f (x)的最大值为4，这时， 　　f (x)的最小值为－2，这时， 12分 18．(1)解：以BA所在直线为x轴，AB中点O为原点建立直角坐标系．　　　　　　　　　　　1分　　当| PQ |＝1时，△OPQ为正三角形，边长为1，△OPA、△OQB也是边长为1的正三角形　　∴| PA |＝1，| PB |＝　　∴　　 3分　　又c＝1，∴　　故所求轨迹方程为： 5分 (2)解：设椭圆C的方程为(m＞n＞0)，则其右准线方程为x＝m2　　设M(x，y)，P(x0，y0)　　由于△APB是直角三角形，∴| PA |2＋| PB |2＝| AB |2＝4　　故(| PA |＋| PB |)2－2| PA || PB |＝4，即4m2－2| PA || PB |＝4 6分　　又| PA || PB |＝| AB || y0 |，∴4m2－4| y0 |＝4　　∴y0＝±(m2－1) 8分　　由　得：y＝±(x－1) 10分　　∵0＜| y0 |＜1，∴0＜m2－1＜1　(　1＜m2＜2m　(　1＜x＜2　　∴点M的轨迹方程是y＝±(x－1) (1＜x＜2)． 12分 19．(1)证法一：取CD中点G，连AG和FG，则AG⊥CD，GF∥DE，GF＝DE＝1　　∵DE⊥平面ACD，∴平面ACD⊥平面CDE　　故AG⊥平面CDE ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD　　∴AB∥DE，AB＝DE　　∴AGFB是平行四边形　(　AG∥BF　　而AG⊥平面CDE　　∴BF⊥平面CDE　　　　　　　　　　　　　　 4分 证法二：∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，AB⊥AD　　在Rt△BAD中，　　又DE⊥平面ACD，∴DE⊥AD　　∴ADEB是直角梯形，∴　　又F为CE的中点，∴BF⊥CE　　在Rt△CDE中，，∴　　在Rt△BFE中，　　在Rt△BAD中　　∵BF 2＋DE 2＝5＝BD 2，∴BF⊥DF　　因此BF⊥平面CDE． 4分 (2)解：连结BD，则　　 (3)解：延长EB和DA交于H，连HC，则HC是所求二面角的棱　　∵AB∥DE，AB＝DE，∴B是HE的中点　　又F是CE的中点，∴BF∥HC　　因此HC⊥平面CDE，故HC⊥CD，HC⊥CE　　∴∠ECD为所求二面角的平面角　　由于∠ECD＝45°，∴平面BCE与平面ACD所成二面角为45°． 12分 20．(1)解：设调整后上网时间为t (小时)，费用为y(元)，则由题意，得　　　　即 (理)5分(文)6分 (2)解：调整前60小时的费用总支出为(0.12×20＋0.12×60)×60＝576元　　调整后若使用60小时，则费用y＝7.2×60＝432元　　∴576＝11.2t－240，解得：t＝72.85小时　　∴调整前每月上网60小时的费用在调整后每月可上网72.85小时． (理)10分(文)12分 (3)解：调整前每小时总费用为0.12×20＋0.12×60＝9.6元　　∴调整前总费用与时间t(小时)的关系为y＝9.6t　　令11.2t－240＝9.6t，解得t＝150小时．　　当一网民每月上网时间t＝150小时，前后支出相同；　　当一网民每月上网时间t＜150小时，调整后支出少，属降价；　　当一网民每月上网时间t＞150小时，调整后支出多，属涨价． 12分 21．(1)解：∵f (1)＝a1＋a2＋a3＋……an＝n2，∴数列{an}的前n项和Sn＝n2　　∴an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)　　又a1＝S1＝1，满足an＝2n－1　　∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N)　　 (2) (理科)证法一：∵　　　　两式相减得：　　∴　　∵(n∈N)　　∴0＜＜1，∴0＜1－＜1，即0＜＜1． 证法二：……　　显然＜1，下面证明＜1　　当n＝1时，＜1，结论成立　　假设当n＝k时结论成立，即＜1，则n＝k＋1时