第1章控制系统的状态空间表达式PPT.ppt

1 j 1 T=(P。，P2， …，P。) (1．47) ／ 证明如下： ‘ 1)由于特征值A。，A：，…，A。互异，故特征矢量P。，P：，…，P。线性无关，从而 由它们构成的矩阵T=(P。P： …P。)必为非奇异，即F一存在，从而可将： Tz=ATz+Bu 两边乘F～，有： 1 j 1 T=(P。，P2， …，P。) (1．47) ／ 证明如下： ‘ 1)由于特征值A。，A：，…，A。互异，故特征矢量P。，P：，…，P。线性无关，从而 由它们构成的矩阵T=(P。P： …P。)必为非奇异，即F一存在，从而可将： Tz=ATz+Bu 两边乘F～，有： 1 j 1 T=(P。，P2， …，P。) (1．47) ／ 证明如下： ‘ 1)由于特征值A。，A：，…，A。互异，故特征矢量P。，P：，…，P。线性无关，从而 由它们构成的矩阵T=(P。P： …P。)必为非奇异，即F一存在，从而可将： Tz=ATz+Bu 两边乘F～，有： 1 j 1 T=(P。，P2， …，P。) (1．47) ／ 证明如下： ‘ 1)由于特征值A。，A：，…，A。互异，故特征矢量P。，P：，…，P。线性无关，从而 由它们构成的矩阵T=(P。P： …P。)必为非奇异，即F一存在，从而可将： Tz=ATz+Bu 两边乘F～，有： 7 系数 为待定系数，其中 ，采用留数定理计算： （1）对于互异极点部分： 令 拉氏反变换可得： （2）对于重极点部分： 令 则： 联立上两式得： 拉氏反变换可得： 联立(1)、(2)、(4)可得： 由(3)、(6)、(7)可得状态空间描述为： xn xq+1 x11 x12 x1q y(t) u(t) + + + + + ∫ -λ1 ∫ -λq+1 ∫ -λn ∫ -λ1 ∫ -λ1 c11 c12 c1q cq+1 cn 约当标准型状态结构图 … 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵 1.6.1 传递函数(阵) 1．单输入一单输出系统 已知系统的状态空间表达式： 式中， 为 维状态矢量； 和 为输出和输入，它们都是标量；A为 方阵; 为 列阵；c为 行阵；d为标量，一般为零。 （62） 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵 对式(62)进行拉氏变换，并假定初始条件为零，则有： （63） 故U—X间的传递函数为： （64） 它是一个 的列阵函数。 间的传递函数为： 它是一个标量。 2．多输入一多输出系统 已知系统的状态空间表达式： （66） 同前，对式(66)作拉氏变换并认为初始条件为零，得： 间的传递函数为： （69） 它是一个m×r矩阵函数，即 其中各元素 都是标量函数，它表征第 个输入对第 个输出的传递关系。当 时 ，意味着不同标号的输入与输出有相互关联，称为有耦合关系，这正是多变量系统的特点。 式(69)还可以表示为： 可以看出， 的分母，就是系统矩阵A的特征多项式， 的分子是一个多项式矩阵。 应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数阵是不变的。对于已知系统如式(66)，其传递函数阵为式(69)。当做坐标变换，即令 时，则该系统的状态空间表达式为： 那么对应上式的传递函数阵 应为： 即同一系统，其传递函数阵是唯一的。 （71） 1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数阵 实际的控制系统，往往由多个子系统组合而成，或并联，或串联，或形成反馈连接。现仅以两个子系统作各种连接为例，推导其等效的传递函数阵。 设系统1为： （72） 简记为： 设系统2为： 简记为： 1．并联连接 所谓并联连接，是指各子系统在相同输入下，组合系统的输出是各子系统输出的代数和，结构简图如下图所示。 由式(72)和式(73)，并考虑 得系统的状态空间表达式： 从而系统的传递函数阵为： 故子系统并联时，系统传递函数阵等于子系统传递函数阵的代数和。 2．串联连接 串联连接如下图所示： 其串联连接传