第1章-行列式PPT.ppt

爪形行列式 例7 设 的线性方程组 的系数行列式 Cramer法则 则方程组有唯 一解,且解为: 解 方程组的系数行列式 由Cramer法则，它有唯一解。 解线性方程组 例1 同理可得 故方程组的解为: 对于齐次方程组 系数行列式 方程组只有零解 或者说： 注 由Cramer法则只能推出一半，提前用此结论。 方程组有非零解 推论 (P25例16) 问 取何值时，齐次方程组有非零解？ 解 系数行列式 按第3行展开 结论… 例2 (插值多项式的存在唯一性. P23例15的一般化) 证明:存在唯一的次数不大于n次的多项式经过 给定的 n+1 点 解 由条件得 设所求多项式为 例3 这是一个以 为未知数线性方程组 其系数行列式 从而方程组有唯一解. 这就证明了所求多项式的存在唯一性. P23 例15 用数学归纳法证明 证 n = 1 时, 结论成立。 n = 2 时， 结论也成立。 例4 则 (P14例10) 例4 证明： 例5 例6 解 §1.1 行列式的定义 §1.2 行列式的性质 §1.3 行列式的展开与Cramer法则 第一章 行列式 §1.3 行列式的展开与Cramer法则 一、行列式的展开 在 D 中划掉第 i 行和第 j 列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式,称为 (i,j) 元素的余子式, 记为Mij ,称Aij = (-1)i+j Mij为 (i,j) 元素的代数余子式。 例如三阶行列式 的代数余子式为： 其中待定常数Aij为相应元素的代数余子式： 例如： 引理 一个n 阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i, j）元素aij外都为0，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即 证明：先证(i, j)= (1,1)的情形， 将上节例3中矩阵分块的性质，可得 任意元素aij都可经过调换行列换至a11的位置，所以 例如 简称按第1列展开。 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 行列式展开定理 例1 推论 行列式的值等于按任一列(行)展开，错列(错行)展开必为零。 直接验证除了有(对应三个未知数的分母): 还有(对应消掉的两个未知元的系数): 简称按任一列展开 简称错列展开必为零 证： 按第3列展开 计算 按定义 按第3行展开 例2 验证 错列或错行展开是否为零? 求 例3 的系数分别是多少 问 中 例4 问 解 项只能从对角线元素乘积中得到(为什么)? 故 例5 故 范德蒙德(Vandermonde)行列式 从最后一行开始,每行减去上一行的 倍. 例6 按最后一列展开再提取每列的公因子 例6 求排列13…(2n-1)24…(2n)的逆序数。 解：排列13…(2n-1)24…(2n)中： 13…(2n-1), 2n的逆序数都为0， 2n-2的逆序数为1， 2n-4的逆序数为2， ……4的逆序数为n-2， 2的逆序数为n-1 所以此排列的逆序数为 1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2 我们还可以用逆序数的方法来定义行列式。 首先看一下二阶与三阶行列式的特点 行下标、列下标、有几项、正负号？ 三、n 阶行列式的定义 找规律 定义：设有n2个数，排成n行n列的数表，n！项的代 数和 t为p1 p2 p3的逆序数。 称为n阶行列式，记作 其中 是对 的所有排列 求和， 是逆序数。 即 n 阶行列式等于取自不同行不同列的 n 个元素乘积的代数和, 行下标按自然顺序排列后,符号由列下标的逆序数决定,共有 n! 项, 正负号各一半。 即 例7：证明n阶行列式（对角行列式） 证明：由n阶行列式定义 例8：求n阶行列式 解：由n阶行列式定义 例7，例8的更一般的形式为 注意！ 下三角形行列式 上三角形行列式 在排列中，任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。 定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。 四、对换 证明：先证相邻对换的情形。设排列 对换a与b，变为 ，显然其他元素的逆 序数都没有改变，当 时，a的逆序数增加1，而b 的不变；当 时，a的逆序数不变，b的减少1。 所以排列的奇偶性改变。 再证更一般