复旦大学出版社线性代数课后习题答案（熊维玲主编） 第2章习题解答.docVIP

第二章　矩阵 1（本题为类似题）．设， 求 解: 2（部分原题，部分类似题）．计算下列乘积： (1)； (2)； (3)；(4)； (5). 解:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 3．求其中为自然数， 解：时， 时， 设时，；则时，有 故：由数学归纳法知，对任意的自然数，有 4．矩阵A称为反对称矩阵，若。已知A为阶反对称矩阵，B为为阶对称矩阵，试问BA-AB是对称矩阵还是反对敌矩阵？试证明你的结论。 答：BA-AB是一个对称矩阵。证明如下： 因为： 所以：BA-AB是对称矩阵。 5（部分原题，部分类似题）．求下列矩阵的逆矩阵（请注意伴随矩阵的计算公式）： (1)； (2)； (3)； (4) 解：(1) ，故存在 = (2) ，故存在 (3) ，故存在 ，， (4)由对角矩阵的性质知 6（部分原题，部分类似题）．解下列矩阵方程： (1)　； (3)　； (2)　； (4)　. 解：(1)； (2) ； (3) ； (4) 7．设(为正整数)，证明.（请注意证明过程的逻辑性要正确） 证明：由于，于是有 两端同时右乘得 8．设矩阵；（1）求；（2）证明矩阵A可逆，并求出；（3）求解： （1） （2）因为所以，，故A可逆。 又因为 （3）； ， 9（本题为类似题）．设方阵满足，证明及都可逆，并求及. 证明：由得 于是，即，故，所以可逆； 又由得 于是，故也可逆. 由； 又由 . 10．利用逆矩阵解下列线性方程组（注：第一题的方程次序不同，但方程组是同一个方程，请注意用逆矩阵解法，不可以用消元法）: (1) (2) 解：(1)方程组矩阵表示形式为 记方程组为：，则， 又， 故，所以有 (2) 方程组矩阵表示形式为 记方程组为：，则， 又， 故，从而有 11．设，，求.（注：请注意矩阵的左乘与右乘的单边性，不可搞乱） 及 解:由可得，故 又， 故： 12．设A和X满足，其中，求矩阵X 解：由得 又由于，所以，故A+E是可逆矩阵。 从而有：= 12．（本题是第12题的类似题，请注意区别解法的不一样，再次提醒注意矩阵左乘和右乘的区别，不可随意左乘和右乘）．设，且，求． 解：由得． 　　由于，于是，故可逆．所以 13．设次多项式，其中，记 ，则为矩阵A的设次多项式。 （1）若=0；证明矩阵A可逆，并求出； （2）设A=；证明：；=； 解：（1）；有 = （2） A=； 有= 而 14．设矩阵A的伴随矩阵是，证明： （1）若 ； (2) . 证明:(1)用反证法证明．假设则有 又由于 所以 ，这与矛盾 故当时，有. (2)　由于， 则，于是 若 则；若，则由(1)知，此时命题也成立.故有. 15．设矩阵A=，其中矩阵，证明矩阵A可逆的充要条件是：均可逆。并求A。 证明：因为A=，其中矩阵， 所以：，故。即矩阵A可逆的充要条件是：均可逆。 设X=，其中矩阵；且AX=E；则 = 解得： 即：A=。 16．设n阶矩阵A及阶矩阵B均可逆，求。 解：因为：设n阶矩阵A及阶矩阵B均可逆；所以：设 X=，其中是方阵；是方阵；且 =E；即，显然可取： ，故 = 17．已知A，B为三阶对称矩阵，且满足其中E为三阶单位矩阵。 证明：（1）矩阵A-2E可逆，并求出 （2）若矩阵，求矩阵A。 证明：（1） 又 A可逆，二边同时左乘A知： 可逆，且 又A，B为三阶对称矩阵； ；而且又已知 即：。故 （2），E=， 故8 ； 故：8， 说明：本题解题切记要用上对称矩阵的概念和性质，多余的结论不用证明，只做题目要求的内容。如B可逆是不必要在此提出的。 18．设矩阵X满足，其中 ；，求矩阵X 解：；； 4，所以代入上式得： ； 由于 所以 19．设三阶矩阵A，B满足，其中E为三阶单位矩阵，，求|B|。 解：； ； 又= ，所以是可逆矩阵； 故 20．设A，B均为三阶矩阵，E为三阶单位矩阵，已知AB=2A+B；，求。 解： ；所以可逆，且 《线性代数》（熊维玲版）部分习题或类似题型解答 第二章 矩阵