2013电大微积分初步考试小抄(完整版小抄)2013中央电大专科《微积分初步》考微积分试小抄.docVIP

电大微积分初步考试小抄 一、填空题 ⒈函数的定义域是 （－∞，5）．5－＞0 →＜5 ⒉ 1 ． ， ⒊已知，则= ． ⒋若，则． ⒌微分方程的阶数是　三阶 ．∵ 6.函数的定义域是（-2，-1）U（-1，∞) ∴ 7.　2　． 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则(0) = -6 y=x(x-1)(x-2)(x-3)=(x2-x)(x2-5x+6)=x4-5x3+6x2-x3+5x2-6x =x4-6x3+11x2-6x , （把0带入X） 9. 或 10.微分方程的特解为 y=ex . 又y(0)=1 (x=0 , y=1) 11.函数的定义域是 12.若函数,在处连续，则　1　． (在处连续) ∵ （无穷小量x有界函数） 13.曲线在点处的切线方程是 ， 14. sin x+c 15.微分方程的阶数为 三阶 16.函数的定义域是（2,3）U（3，∞） 17.　1/2　 18.已知，则=　27+27ln3　 19.=　ex2+c 20.微分方程的阶数为 四阶 二、单项选择题 ⒈设函数，则该函数是（偶函数）．∵⒉函数的间断点是（）分母无意义的点是间断点∴ ⒊下列结论中（在处不连续，则一定在处不可导）正确．可导必连续，伹连续并一定可导；极值点可能在驻点上，也可能在使导数无意义的点上 ⒋如果等式，则（ ） ⒌下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． 6.设函数，则该函数是（奇函数）． 7.当（2 ）时，函数在处连续. 8.下列函数在指定区间上单调减少的是（）． 9.以下等式正确的是（） 10.下列微分方程中为可分离变量方程的是（） 11.设，则（） 12.若函数f (x)在点x0处可导，则(，但)是错误的． 13.函数在区间是（先减后增）　 14.(） 15.下列微分方程中为可分离变量方程的是（） 16.下列函数中为奇函数是（） 17.当（）时，函数在处连续. 18.函数在区间是（先单调下降再单调上升）　 19.在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（y = x2 + 3）． 20.微分方程的特解为（）． ． 解: ⒉设，求. 解： ，u= -2x ′·(-2x)′=eu·（-2） = -2·e-2x ∴y′= -2e-2x+ ∴dy=(-2·e-2x+)dx ⒊计算不定积分 解：令u=,u′= ∴ ∴·2du==2(-cos)+c = -2cos ⒋计算定积分 u=x，v′=ex,v= ex ∴v′dx=uv ∴原式=2 5.计算极限 6.设，求 解： y1=lncosx y1=lnu1,u=cosx ∴ y1= ∴dy=()dx 7.计算不定积分 解： 令u=1-2x , u′= -2 ∴ 8.计算定积分 解：u=x, = 9.计算极限 10.设，求 y1=sin3x y1=sinu , u=3x , ∴y′=2xln2+3cos3x ∴dy=(2xln2+3cos3x)dx 11.计算不定积分 u=x , v′=cosx , v=sinx 12.计算定积分 令u=lnx, u′=, du=dx , 1≤x≤e 0≤lnx≤1 ∴ ∴原式=1+5·= 13.计算极限 解： 14.设，求 解： () , , , ) 15.计算不定积分 解： u=2x-1 ,=2 du=2dx ∴ 16.计算定积分 解： u=x , , 四、应用题（本题16分） 用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x，高为h,表面积为s，且有h= 所以S(x)=x2+4xh=x2+ 令（x）=0，得x=2 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以x=2，h=1时水箱的表面积最小。 此时的费用为S（2）×10+40=160元 欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽各选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 设长方形一边长为x，∵S=216 ∴另一边长为216/x ∴总材料y=2x+3·216/x=2x + y′=2+648·(x-1)′=2+648·(-1·) =2 - y′=0得2 = ∴x2=324 ∴x=18 ∴一边长为18，一边长为12时，用料最省. 　欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 设底边长为a ∴底面积为a2 a2h=v=32 ∴ h= ∴表面积为a2+4ah= a2+4