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2018-01-28 发布于浙江
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初等数论竞赛训练.doc

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初等数论竞赛训练

初等数论竞赛训练 1.（2006一试6）数码中有奇数个9的2007位十进制数的个数为． 2.(2008一试5) 方程组的有理数解的数为 3.（2011一试8）已知，则数列中整数项的个数为． 4.（2009二试3）设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素． 5.（2010二试）设和是大于1的整数，求证：，存在一个次多项式具有如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意正整数，及任意个互不相同的正整数，均有． 7.（2012二试2）试证明：集合满足（1）对每个，及，若，则一定不是的倍数；对每个（其中表示在Ｎ中的补集），且，必存在，，使是的倍数． 8.（2013二试2）给定正整数.数列定义如下：，对整数，记（）.证明：数列中有无穷多项是完全平方数. 初等数论参考答案 4.【解析】证法一：对任意正整数，令．我们证明．设是的任一素因子，只要证明：p．若pk!，则由．及，且pα+1k!，知且．从而p．证法二：对任意正整数，令，我们证明．设是的任一素因子，只要证明：p．若pk!，则由．即不整除上式，故p．若，设使，但．．故由 ,及，且pα+1k!，知且．从而p 5. 证明：