线性代数课件第五节线性方程组解的结构.pptVIP

* * 五、线性方程组解的结构 一、线性方程组有解的判定定理 线性方程组 (3.16) 其系数矩阵和增广矩阵分别记为 ,即 如果记 则线性方程组(3.16)可以写成 (3.17) (3.17)称为线性方程组的向量形式。 定理3.14 线性方程组(3.16)有解的充分必要条件是: 其系数矩阵与增广矩阵的秩相等，即 推论1 线性方程组(3.16)有唯一解的充分必要条件是 推论2 线性方程组(3.16)有无穷多组解的充分必要条件是 例1 判断线性方程组 是否有解， 是互不相等的数。 解 方程的增广矩阵 是一个四阶方阵，其行列式为 范德蒙得行列式 已知 互不相等， 所以 故 而系数矩阵A为4×3矩阵， 所以 于是线性方程组无解。 例2 试证：如果方程组有解 则行列式 证 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵为 由于线性方程组有解，可得 矩阵A为 矩阵，故 而 为(n+1)阶方阵，故 方程组(3.16)对应的齐次线性方程组为 (3.18) 方程组(3.18)的增广矩阵 比系数矩阵仅多一个零列， 故总有 因此齐次线性方程组(3.18)一定有解。 (至少有零解 ) 定理3.15 齐次线性方程组(3.18)仅有零解的充分必要条件是 推论 齐次线性方程组(3.18)有非零解的充分必要条件是 二、齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组(3.18)的矩阵形式为 其中 为 矩阵， 若齐次方程组 的解为 记 则向量 就表示方程组(3.18)的一个解， 也称为方程 组 的解向量。 性质1 若 是齐次线性方程组 的解，则 也是方程组的解。 性质2 如果 是齐次线性方程组 的解，则对任意 常数c， 也是方程组的解。 定义3.13 设 都是齐次线性方程组 的解 且 (1) 线性无关； (2) 的任意解都可以由 线性表示， 则称 是其次线性方程组 的一个基础解系。 定理3.16 如果齐次线性方程组 的系数矩阵的秩 则方程组 有基础解系，并且它的任一基础解系中解向 量的个数为n – r。 例3 求齐次线性方程组 的通解，并用基础解系表示。 解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化阶梯形矩阵： 所以 ,方程组的基础解系中含有2个解向量， 取自由未知量 由此又得到原方程组的同解方程组 在此方程组中，分别取自由未知量 为 可得基础解系 方程组的通解为 ，其中 为任意常数。 例4 求齐次线性方程组 的一个基础解系。并求方程组的通解。 解 方程组中方程个数小于未知量的个数，所以方程组有 无穷多解。 对方程组的系数矩阵施以初等行变换，化为简化的阶 梯形矩阵： 有最后的矩阵可知r (A)=2, 所以方称组的基础解系含有5-2=3个向量。 同时得到原方程组的同解方程组： 可令自由未知量 分别取 得到原方程组的一个基础解系： 方程组的通解为 其中 为任意常数。 例5 设四元齐次线性方程组 又已知另一齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为 ( 为任意常数) (1) 求线性方程组(Ⅰ)的通解； (2) 线性方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有非零公共解？若有，则 求出所有的非零公共解。 解(1) 齐次线性方称组(Ⅰ)的系数矩阵 显然 r (A)=2. 取 为未知量，方程组(Ⅰ)的同解方程组为 得方程组(Ⅰ)的一个基础解系 令自由未知量 分别为 ， 方程组(Ⅰ)的通解为 ( 为任意常数) (2) 解法1 将方程组(Ⅱ)的通解 代入方程组(Ⅰ)得 解之得到 当 时，向量 满足方程组(Ⅰ)。 并且它也是方程组(Ⅱ)的解，故它是方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的 公共解。 因此方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)的公共解为 ( 为任意常数) (2) 解法2 若方程组(Ⅰ)、(Ⅱ)有非零解，则必有不全为零的数