线性代数课件xxds09章节.pptVIP

一、向量组的秩与最大无关组 二、向量组的秩与矩阵的秩的关系 三、最大无关组的等价定义 四、含无限个向量的向量组的结论 五、小结 一、向量空间的概念 二、向量组所生成的向量空间 三、子空间 四、向量空间的基与维数 五、向量的坐标 六、小结 定理3`的证明 1.定义 设 为向量空间， 个向量 ， 若满足 ⑴ 线性无关； ⑵ 中任一向量都可由 线性表示， 只含零向量的向量空间没有基，规定它的维数为0. 这样的向量空间称为零空间或0维向量空间. 那么向量组 称为向量空间 的一个 基； 称为向量空间 的维数，记作 并称 为 维向量空间. 说明 但是向量 组一般不是向量空间 向量空间 可以看作是一个向量组（ ），根据最大无关组的等 价定义知， 的维数就是向量组的秩. 的基就是向量组的最大无关组， 向量空间的基也是不唯一的. 例如 ⑴ 任何 个线性无关的 维向量都可以是向量空 间的一个基，由此可知 的维数为 . 称为 维向量空间. ⑵ 向量空间 取 中如下 个向量： 显然 线性无关，且 中任一向量都有 因此 是的一个基, 且 是 维向量空间. 可以取其它的 个线性无关的向量 ⑶ 向量空间 设 是向量组 的一个 最大无关组， 则 中任一向量可由 线性表示, 因而 是 的一个基, 是 维向量空间. 所以， 由向量组所生成的向量空间的基就是 该向量组的一个最大无关组，它的维数等于该 向量组的秩. 2. 关于基和维数的有关结论： ⑴ 若向量空间 ，则 的维数不超过 . ⑵ 若向量空间 ,且 则 ⑶ 若向量组 是向量空间 的一个 基，则 可表示为 即 是基所生成的向量空间，这清楚地显示出了向量空间 的构造. 这就是基的涵义. 证明 1. 向量的坐标 定义 设 是向量空间 的一个基，则 中任一向量 可由它惟一地表示为 数组 称为向量 在基 中的坐标. 特别地， 维向量空间 中的向量 ， 若 ,则 所以 在基 中的坐标为 . 即向量在自然基中的坐标就是向量的分量. 2. 过渡矩阵 定义 设 和 是 维向量空间 的两个基，根据基的定义知，它们是等价的. 若 则称矩阵 从基 到基 的过 渡矩阵. 说明 用 表示 的表示式 称为基变换公式. 向量在某个基中的坐标是唯一的；但是同一个 向量在不同中基的中作表示不同的. 向量在两 个基中的坐标之间的关系式称为坐标变换公式. 过渡矩阵是可逆矩阵. 例6 设 验证 是 的一个基，并求 在这个基 中的坐标. 解 析：本例是关于向量空间的问题，也即线性 代数中的几何问题. 就计算而言，只需将它转换为相应的矩阵问题：求解矩阵方程 . 这已经前面分析过这类问题的解法. 要证