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§3.2 连带勒让德多项式的性质精选
§3.2 连带勒让德多项式的性质
连带勒让德方程
d ⎡( 2 )dΘ⎤ ⎡ ( ) m2 ⎤
1+x + l l +1 − Θ 0
dx ⎢⎣ dx ⎦⎥ ⎢⎣ 1−x 2 ⎦⎥
其解
m
( ) m ( ) 2 2 [m ]( )
Θx P x (1−x ) P x
l l
或
m 2 m d m
( ) 2 ( )
P x (1−x ) P x （0 ≤m ≤l ） （1）
l dxm l
注意： ( ) l ( )
P x 的最高次幂为x ，连带勒让德多项式是对P x 进行m 阶求导而后得到的，为
l l
保证连带勒让德多项式不为零，需要满足0 ≤m ≤l 。
一、连带勒让德多项式前几项：
1 2 1 d 2 1
( ) 2 2
P x (1−x ) []x (1−x ) sinθ
1
dx
1 2 1 d ⎡1 2 ⎤ 2 1
( ) ( )2 ( ) ( )2
P x 1−x 3x −1 3 1−x x 3sinθcosθ
2 dx ⎢⎣2 ⎦⎥
2 ( ) ( 2 )d 2 ⎡1 ( 2 ) (⎤ 2 ) 2
P x 1−x 3x −1 3 1−x 3sin θ
2 dx2 ⎢⎣2 ⎦⎥
m ( ) ( )
当m=0 时P x 退化为P x 。
l l
二、连带勒让德多项式的微分形式：
m l +m
m 1 2 d 2 l
( ) 2
P x (1−x ) (x −1) (0 ≤m ≤l) （2 ）
l l l +m
2 l! dx
证明：
l
∵ ( ) 1 d 2 l
P x (x −1)
l l l dxl
2 !
m 2 m d m ⎡ 1 d l 2 l ⎤ 1 2 m d l +m 2 l
∴ (
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