二维离散傅立叶变换程序设计.docVIP

实验二 二维离散傅立叶变换程序设计 一、实验目的与要求 通过对傅立叶变换原理的学习，掌握并编程验证二维离散傅立叶变换，理解二维傅立叶变换的主要性质。 二、知识点 1、数字图像傅立叶变换的目的 为了有效地和快速地对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换（正变换）到另外一些空间，并利用在这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后再转换回图像空间（反变换或逆变换）以得到所需要的效果。傅立叶变换就一种重要的常用的变换，它把图像从图像空间变换到频率空间。 2、二维离散傅立叶变换 对于二维傅立叶变换，其离散形式如公式2-1所示： 逆变换公式如2-2所示： 频谱公式如2-3所示 由可傅立叶变换的分离性可知，一个二维傅立叶变换可分解为两步进行， 其中每一步都是一个一维傅立叶变换。先对f(x, y)按列进行傅立叶变换得到F(x, v)，再对F(x, v)按行进行傅立叶变换，便可得到f(x, y)的傅立叶变换结果。显然对f(x, y)先按行进行离散傅立叶变换， 再按列进行离散傅立叶变换也是可行的。 3、一维快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform， FFT） 离散傅立叶变换计算量非常大，运算时间长。可以证明其运算次数正比于N2，特别是当N较大时，其运算时间将迅速增长， 以至于无法容忍。为此，研究离散傅立叶变换的快速算法是非常有必要的。 下面介绍一种称为逐次加倍法的快速傅立叶变换算法（FFT）思想，它是1965年Cooley和Tukey首先提出的。采用该FFT算法，其运算次数正比于NlbN，当N很大时计算量可以大大减少。把公式（2-4）简记为旋转因子。 则有一维傅立叶变换公式如（2-5）所示： 这样一维离散傅立叶变换（DFT）用矩阵的形式表示为 ： 式中，由Wux构成的矩阵称为W阵或系数矩阵。 观察DFT的W阵，并结合W的定义表达式W=e-j2π／N，可以发现系数W是以N为周期的。这样，W阵中很多系数就是相同的， 不必进行多次重复计算，且由于W的对称性，因此可进一步减少计算工作量。如果把一个离散序列分解成若干短序列， 并充分利用旋转因子W的周期性和对称性来计算离散傅立叶变换，便可以简化运算过程，这就是FFT的基本思想。 三、实验内容及步骤 二维傅立叶变换的实现步骤： 1．载入一幅原始图像f1如1图： 2．利用函数fft2,对其进行快速傅立叶变换, F=fft2(f)； 3. 利用abs函数来得到傅立叶频谱，S=abs(F); 4．利用imshow来可视化频谱图像，观察此图像的特点，Imshow(s,[])； 5．利用函数fftshift将变换后的图像原点移动到频率矩形的中心，FC=fftshift(F)； 6.显示变换了中心后的频谱图，Imshow(abs(FC),[])，观察结果； 7．将结果利用对数变换进行处理S2=Log(1+abs(FC));然后显示其结果，观察变化，对比与6的结果有什么不同； 8．利用傅立叶逆变换的实部值恢复原始的图像，g=real(ifft2(F))，这样做的原因是：从理论上来说，如果计算傅立叶变换后的值F的输入是实数，逆变换后的值也应该是实数，但是在实际中，ifft2的输出都会有很小的虚数分量，这是由浮点计算的舍入误差所导致的，因此我们在计算逆变换的后，提取结果的实部输出； figure,imshow(g); 9、利用imrotate函数，将f1(x,y) 顺时针旋转45度得到f2(x,y),如图2; 10.重复2—8的步骤,比较两次所得到的结果,进行比较分析. 11.将每一步的函数执行语句拷贝下来，写入实验报告，并且将得到的图像效果拷贝下来,进行分析。 图1 原始图像 图2 旋转后的图像 四、考核要点 1、快速傅立叶变换的频谱图像； 3、傅立叶变换的性质