微积分X08-1-2-3一阶微分方程PPT.pptVIP

第八章 微分方程（组）;解;例2 设某种物质沿ox轴均匀分布在区间[0,1]上分布密度 ,求分布函数S(x);常微分方程;微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.;解;所求特解为;P(x,y);解：;解;§8-2 一阶微分方程的解法;1、可分离变量的一阶微分方程;例1. 求微分方程;例2. 解初值问题;例3：求解微分方程;例4. 求下述微分方程的通解:;例5.;例6. ;例7： 船从河岸边O点出发驶向对岸，船速为a船行方向始终与河岸垂直，河宽为h，河中任一点处水流速与该点到两岸的距离乘积成正比，求船的航线;例8.;例9;解;解;6分钟后, 车间内 的百分比降低到;2、一阶齐次方程;例1. 解微分方程;例2. 解微分方程;例3;例 4 求解微分方程;微分方程的解为;例 5 有旋转曲面形状的凹镜，假若由旋转轴上一点O发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行求曲线方程;一般的可化为可分离变量的微分方程 通过变量代换将微分方程化为可分离变量的微分方程形式。 例 求下列方程通解;解;解;( h, k 为待 ;求出其解后, ;例4. 求解;得 C = 1 ,;);（定理8-1）齐次方程的通解为;; 线性非齐次方程的解法 线性非齐次方程的解线性齐次方程的解之间的关系：;常数变易(位）法;一阶线性非齐次微分方程的通解为:; 求解方法： 注:1) 非齐次方程通解 = 对应齐次方程通解 + 非齐次方程一特解 2）常数变易; 3) 公式 例1 求下列方程通解 1) x y’ +y =sinx 解： 常数变易法 y’ +y/x =0 y= Ce —∫P（x）dx= C/x 设 y=C(x)/x 代入方程 [C(x)/x ]’ + C(x)/x2 = sinx/x = C’(x)=sinx C(x)= -cosx+C = 通解： y = (- cosx+C)/x ;解;例2：求通解;例3 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .;P335例6.设有连接O和A（1，1）的连续曲线y=f(x)，P(x,y)为曲线上动点，若直线OP与曲线y=f(x)围面的图形面积为x2，求y=f(x);伯努利(Bernoulli)方程的标准形式;求出通解后，将 代回，;例1 解微分方程:;解;5.凑微分法(P339);凑微分法;例. 求解;备用题 解方程;解法2 化为齐次方程.;解法3 化为线性方程.;§8-3 可降为一阶的二阶微分方程的解法;一、;例1. ;例2. 质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线;利用初始条件;型的微分方程 （不显含y);例. 求解;例4. ;则得定解问题: ;三、;例. 求解;M : 地球质量 m : 物体质量;注意“－”号;例. 解初值问题;例 已知曲线,它的方程y=f(x)满足微分方程;1;解;(5) 凑导数法(恰当导数方程) 例 1 yy”+(y’)2+2x =0 解： (yy’)’= -2x 降阶得：yy’= -x2 +C1 ydy=( -x2 +C1 )dx ;速度