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第17部分：推理与证明 一、填空题： 1．（2010年高考陕西卷理科12）观察下列等式： ，根据上述规律，第五个等式为. 【解析】（方法一）∵所给等式左边的底数依次分别为；；，右边的底数依次分别为（注意：这里），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为，右边的底数为. 又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为 . （方法二）∵易知第五个等式的左边为，且化简后等于，而，故易知第五个等式为. 2.（浙江卷14）设 ， 将的最小值记为，则 其中=__________________ . 二、解答题： 1．（2010年高考江苏卷试题23）（本小题满分10分） 已知△ABC的三边长都是有理数。 求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。 [解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。 （方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数， 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， ∴必为有理数，∴cosA是有理数。 （2）①当时，显然cosA是有理数； 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数； ②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。 当时，， ， ， 解得： ∵cosA，，均是有理数，∴是有理数， ∴是有理数。 即当时，结论成立。 综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 （方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。 （2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。 ①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。 ②假设当时，和都是有理数。 当时，由， ， 及①和归纳假设，知和都是有理数。 即当时，结论成立。 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。 2．（2010年高考江西卷理科22）（本小题满分14分） 证明以下命题： （1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列； （2）存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列. 证明：（1）易知成等差数列，故也成等差数列， 所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列． （2）若成等差数列，则有， 即 …… ① 选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于 因此令 ，可得 …… ② 易验证满足①，因此成等差数列， 当时，有且 因此为边可以构成三角形． 其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有： ，据比例性质有： 所以，由此可得，与假设矛盾， 即任两个三角形与互不相似， 所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列． 2