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知识点043：规律型：数字的变化类（解答题1） 1．（2010?汕头）阅读下列材料： 1×2=（1×2×3﹣0×1×2）， 2×3=（2×3×4﹣1×2×3）， 3×4=（3×4×5﹣2×3×4）， 由以上三个等式相加，可得： 1×2+2×3+3×4=×3×4×5=20． 读完以上材料，请你计算下列各题： （1）1×2+2×3+3×4+…+10×11（写出过程）； （2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=　[n×（n+1）×（n+2）]　； （3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=　1260　． 考点：规律型：数字的变化类。 专题：阅读型。 分析：可得规律：a×b=[a×b×（b+1）﹣（a﹣1）×a×b]． 解答：解： 1×2=（1×2×3﹣0×1×2）； 2×3=（2×3×4﹣1×2×3）； 3×4=（3×4×5﹣2×3×4）； … 10×11=（10×11×12﹣9×10×11）； … n×（n+1）=[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]． （1）1×2+2×3+3×4+…+10×11 =（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+（10×11×12﹣9×10×11） =（10×11×12）=440； （2）1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1） =（1×2×3﹣0×1×2）+（2×3×4﹣1×2×3）+（3×4×5﹣2×3×4）+…+[n×（n+1）×（n+2）﹣（n﹣1）×n×（n+1）]=[n×（n+1）×（n+2）]； （3）1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）； 2×3×4=（2×3×4×5﹣1×2×3×4）； 3×4×5=（3×4×5×6﹣2×3×4×5）； … 7×8×9=（7×8×9×10﹣6×7×8×9）； ∴1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9 =（1×2×3×4﹣0×1×2×3）+（2×3×4×5﹣1×2×3×4）+（3×4×5×6﹣2×3×4×5）+（7×8×9×10﹣6×7×8×9）； =（7×8×9×10）=1260． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 2．（2010?济宁）观察下面的变形规律：=1﹣；=﹣；=﹣；… 解答下面的问题： （1）若n为正整数，请你猜想=　　； （2）证明你猜想的结论； （3）求和：+++…+． 考点：规律型：数字的变化类。 专题：规律型；探究型。 分析：（1）根据所给的等式，进行推而广之即可； （2）根据分式的加减运算法则进行证明； （3）根据（2）中证明的结论，进行计算． 解答：（1）解：； （2）证明：右边=﹣=﹣===左边， 所以猜想成立． （3）原式=1﹣+﹣+﹣+…+﹣ =1﹣ =． 点评：此题考查了异分母的分式相减的运算法则． 3．（2010?北海）规定：2!=2×1；3!=3×2×1；4!=4×3×2×1，…，n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1，即称n!为n的阶乘． （1）计算：=　9900　； （2）当x=7是一元二次方程的一个根，求k 的值． 考点：规律型：数字的变化类；一元二次方程的解。 专题：规律型。 分析：（1）由于n!=n×（n﹣1）×（n﹣2）×…×2×1分别求出100!和98!，然后即可求解； （2）首先利用（1）的规律求出8!，6!然后把x=7当然方程计算即可求出k． 解答：解：（1）依题意得==9900； （2）把x=7 代入中， 得72+7k﹣56=0， ∴7k=7， ∴k=1． 点评：此题主要考查了数字变化的规律，也利用了一元二次方程的解，解题时首先正确理解题意，然后根据题目隐含的规律计算即可求解． 4．（2009?张家界）有若干个数，第1个数记为a1，第2个数记为a2，第3个数记为a3，…第n个数记为an，若a1=﹣，从第二个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数． （1）分别求出a2，a3，a4的值； （2）计算a1+a2+a3+…a36的值． 考点：规律型：数字的变化类。 专题：规律型。 分析：（1）根据从第二个数起，每个数都等于1与前面那个数的差的倒数．依次计算a2，a3，a4的值． （2）根据（1）中的计算结果，不难发现3个一循环，从而只需计算出前3个数的和，根据规律即可求得最后结果． 解答：解：（1） ． （2）a1+a2+a3+…a36=（﹣+4+）×12=53． 点评：此题的难点是计算第（2）小题，特别注意从（1）中发现循环的规律． 5．（2009?安徽）观察下列等式：1×=1﹣，2×=2﹣，3×=3﹣，… （1）猜想并写出第n个等式； （2）证明你写出的等式的正确性． 考点：规律型：数