《概率论与数理统计》-2.4.pptVIP

第2章 随机变量及其概率分布 2．4 分布函数 2．4．1 分布函数的概念 定义 设 是一个随机变量， 为任意实数， 称函数 为 的分布函数． 由此定义，若已知随机变量 的分布函 数 ，则 落入任一区间 的概率等于 在此区间上的增量，即 ， 因此，知道了随机变量的分布函数也就掌 握了该随机变量的统计规律性． 2．4．2 分布函数的性质 设 为随机变量 的分布函数，则 具有下列性质： （1）单调不减性：若 ，则 ； （2）归一性：对任意实数 ， ，且 ， ； （3）右连续性：即 ，若 为连续 型随机变量，则 处处连续． 具有以上三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数，故这三个性质也是分布函数的充分必要条件． 例1 设 的分布函数为 ． （1）试确定系数 ； （2）求 ． 解 （1）根据 及 ，得 解得 （2）由 ，得 2．4．3 离散型随机变量的分布函数 若离散型随机变量 的分布列为 ， 则 ． 是分段函数，其定义域 被分为若干个 区间，其中最左边的是开区间，其余皆为左闭 右开区间， 的图形为一条有跳跃的上升阶梯 形曲线，其分界点即 的取值点 处产生跳跃，跳跃值分别为 （如图2.4.1）． 例2 设 的分布列为 如图2.4.2所示． （1）求 的分布函数，并给出 的图像； （2）求 落在 上的概率． 解 （1）当 时， ，得 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 因此得 的图像如图2.4.3． （2） 的定义域为 ，对应规律： 表示 落在 上的概率值．由此知 ， 2．4．4 连续型随机变量的分布函数 若连续型随机变量 的概率密度为 ， 则 （2.4.1） 可见， 的分布函数 可表示为概率密度 从 到 的积分；当 变化时，它为一个变上 限的积分．因此，由微积分知识可知，若 为 的连续点，则有 ． （2.4.2） 连续型随机变量及其概率密度也可以定义如下： 设 是随机变量 的分布函数，若存在非负 函数 ，使对任意实数 ，有