南京工业大学 计算机在材料中的应用 1.绪论.ppt

计算机在材料科学中的应用 总学时 32 其中上课 22学时 上机10学时 主要讲授如何解决各种工程技术问题，用数学语言描述问题，即建立数学模型，将之转化为一个数学问题，寻求合适的近似计算方法，编程计算，充分发挥计算机的记忆和快速运算功能，寻求最佳方案;介绍部分计算机在材料科学中的应用知识。 参考书目:各类有关“数值计算”和“计算方法”的书 联系方法139.com 目录 1 绪论 1.1 计算方法的对象与特点 1.1.1 引言 是利用计算机进行工程问题的辅助求解 计算机具有快速运算功能。而工程中应用计算机的困难是选择和应用适当的计算方法上机编程解题。 如何针对某种工程解选取最优的算法？ 解析解：解析表达式（准确解） 数值解（近似解）：解是一些离散点上的取值形式，主要利用计算机求解。 几个术语 求数值解的问题称为数值计算问题。 求数值计算问题的方法称为数值计算方法，简称数值方法或计算方法。 所以计算方法是研究数学问题的数值解及其理论的一个数学分支。 1.1.2 对象与特点 研究适合于计算机上使用的数值计算方法及与此相关的理论（收敛性，稳定性及误差分析），以及最佳算法。是与计算机密切结合的实用性很强的课程。 特点： 得到的总是准确解的近似值，故需不断改进方法。 用很简明的算术表达式给出，并不含高深、复杂的数学计算。 容易利用计算机进行编程计算。 抽象、严格及应用的广泛性，还有实际试验的技术性。 1.1.3 用计算机求解数值计算问题的过程 数值计算问题 选择合适的计算方法 设计算法 编程 上机 算法：解决问题有限、有序的步骤，可供计算机执行的对一些数据按某种规定的顺序进行运算的一个有穷序列。 1.1.4 计算机辅助解决工程问题的类型 代数方程（组）的求解 数值的数据处理（插值、拟合、微分、积分） 常微分方程的求解 特征值问题的求解 偏微分方程的求解 最优化问题的求解 本课程讲述解题的基本原理、方法及程序设计 1.2 误差的来源及误差的基本概念 误差:一个物理量的真实值与近似值之差。 随处都有可能引起误差。计算机进行计算时总是具有一定位数的有穷小数进行的，从而得出近似值。 问题是原始误差对结果误差的影响有多大。 1.2.1 误差的来源 (1)模型误差（描述误差） 简化，抽象问题后建立的数学模型与实际问题之差。 (2)观测误差 观测和实验得到的参量（物理量为电压、电流、温度等） (3)截断误差（方法误差） 有限过程代替无限过程的误差（无穷级数求和，只能取前面有限项求和来近似代替）。这种计算方法本身出现的误差，所以也称为方法误差。 (4)舍入误差 计算机只能用有限位数表示，在计算中会有四舍五入，积累后误差变大。 综上，误差是不可避免的，要求绝对准确，绝对严格实际上是办不到的。既然描述问题的方法是近似的，那么要求解的绝对准确也就没有意义了。因此在计算方法中讨论的都是近似解，那种认为近似解是不可靠的、不准确的看法是错误的，应该认为求近似解是正常的，问题是怎样尽量设法减少误差、提高精度。 在四种误差来源的分析中，前二种误差是客观存在的，后二种是由计算方法所引起的。 所以要讨论后两种误差的产生、传播和对计算结果的影响。 1.2.2 绝对误差与绝对误差限 定义1.1 设x*为准确值，x是x*的一个近似值，称e=x*-x为近似值x的绝对误差，简称误差。 一般x* 未知，但可按测量或计算情况估计|e|的某个上界?0，即 ?e?=?x*-x??? ?称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。 因为?x*-x???，所以-?? x*-x?? x-??x*?x+?，所以x*=x?? e反映了x的准确程度，但不能完全说明x 的近似程度的好坏。 1.2.3 相对误差与相对误差限 ?不能完全表示出近似值的好坏。 定义1.2 设x 是准确值x*的一个近似值，则称 （x*-x）/x*=e/x*=er 为近似值x的相对误差。x*常不知，但当er很小时，取er=e/x=（x*-x）/x 得出x 的相对误差限： ?er?= ?e/x?= ?（x*-x）/x?= ?x*-x?/ ?x???r ?r?0称为x的相对误差限。 结论 （1） e 和?与所讨论的量的单位有关。而er，?r则是无因次量。 er，?r常用%表示。 （2）同一个x的?与?r有?r= ?/ ?x?的关系。 1.2.4 有效数字 可同时反映近似值的准确程度。 定义1.3 如果近似值x的误差限是某一位上的半个单位，且该