2012级郑州大学工学院高数课后习题答案(1).doc

习题3.1 给定函数. 验证在区间上满足罗尔定理条件，并求出罗尔定理结论中的值； 验证在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出拉格朗日中值定理结论中的值。 解：（1）为多项式函数，显然在上可导，特别在上连续，在内可导，又，，故有，满足罗尔定理的条件。，可解得，都属于，故，。 （2）为多项式函数，显然在上可导，特别在上连续，在内可导，满足满足拉格朗日中值定理的条件。显然，，易解得，但是，故。 验证，在区间上满足柯西中值定理条件，并求出柯西中值定理结论中的值。 解：显然，在区间上连续，在上可导，并且对任意，，故满足柯西中值定理条件。，，可求得。 不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间。 解：由于为五次多项式，故可知为4次多项式，而4次多项式最多有4个实根，且和都在上可导。由于，故显然在区间，，，上都满足罗尔定理的条件，由罗尔定理可知恰有4个实根，分别在，，，内。 设在上连续，在内可导，且在内，证明在内至多有一个零点。 证明：反证法。假设在内有两个以上的零点，不妨设为，且。由题设条件可知在上连续，在内可导，且，故满足罗尔定理条件，由罗尔定理可知，一定存在，使得，与在内矛盾，从而假设错误。得证。 设函数在上连续，在内二阶可导，且（），试证明：至少存在一个，使得。 证明：由条件在上连续，在内二阶可导，且可知分别在区间和上都满足罗尔定理条件，由罗尔定理可知分别存在，，使得。特别在区间上连续，在上可导，且，由罗尔定理可知存在一个，使得。 证明：方程在区间内至少有一个实根。 证明：构造函数，显然在上连续，在内可导，且，由罗尔定理可知，一定存在，使得。而，故得证。 证明： 方程有且仅有一个正根； 方程在区间内至多有一个根。 证明：（1）构造函数，显然在上可导，且恒不为零，故在内至多有一个根。又，，特别在闭区间上连续，由零点定理可知存在，使得。即证。 （2）构造函数，显然在上可导，且在开区间内恒不为零，故在区间内不可能有两个以上的根。从而可知方程在区间内至多有一个根。 证明恒等式： 证明：构造函数，而 ，对任意的。由拉格朗日中立定理的推论可知在为常值函数，显然，从而。 证明下列不等式： （1），； （2），其中； （3）当时，； （4）当时，； （5）当时，。 证明：（1）当时，，显然成立。当时，令，显然在（或）上连续，在（或）内可导，由拉格朗日中值定理可知存在，使得，从而 ，由于，所以。综上得证。 （2）由得，故不等式与等价。令，显然在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理可知存在，使得，由可知，从而不等式得证。 （3）当时，显然成立；当时，令，显然在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理可知存在，使得，由可知，从而，故，综上不等式得证。 （4）令，显然在（或）上连续，在（或）内可导，由拉格朗日中值定理可知存在（或），使得，当时有可知，故，易得；当时有可知，故，仍可得。综上不等式得证。 （5）由可知，从而不等式与 等价。令，显然在在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理可知存在，使得 ，由可知，从而不等式得证。 10. 设函数在区间上连续，在区间内二阶可导，点，是函数曲线上的两点，曲线弧与弦相交于点，试证明：至少存在一个，使。 证明：由条件显然有。由于函数在区间上连续，在区间内二阶可导，特别在在区间和上连续，在区间和内可导，由拉格朗日中值定理可知存在和，使得，。又三点共线，从而有。故。由在区间内二阶可导可知在区间内可导，特别在上连续，在内可导，又，满足罗尔定理条件，由罗尔定理可知存在一个，使。 11. 设函数在点的某个邻域内具有二阶导数，试用柯西中值定理证明：当时，存在介于与之间，使 成立。 证明：令，，由条件显然有在（或）上连续，在（或）内可导，且在（或）恒不为零，满足柯西中值定理条件。由柯西中值定理可知一定存在（或），使得，（显然）。又，（显然）。又在（或）上连续，在（或）内可导，且在在（或）恒不为零，满足柯西中值定理条件。由柯西中值定理可知一定存在（或），使得，即有，显然，故，从而得证。 习题3.2 1. 试说明下列函数求极限不能使用洛必达法则。 （1） （2） （3） （4） 答：（1）由于，而不存在，且不等于，不满足定理条件。 （2）由于，而不存在，且不等于，不满足定理条件。 （3）由于，而不是0或者。 （4）由于分子的导数，而不存在，且不等于，分母的导数为，，故导数的商的极限不存在。 2. 用洛比达法则求下列极限。 （1）（） （2）（） （3） （4） （5）（） （6） （7）