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第十二章全等三角形知识点和典型例习题 知识点1、全等三角形的定义和表示方法 （1）定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （2）全等三角形的形状和大小完全相同，只是位置不同，其中一个经过平移、旋转、翻折等变换后必定与另一个重合。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角 （3）“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 （4）寻找对应元素的方法： ①根据对应顶点找 如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 ②根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； ③通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。 平移 如图（1），(DEF≌(ACB，((ACB沿CB方向平行移动而得到的。 旋转 如图（2），(COD≌(BOA，(COD(BOA绕着点O旋转180(得到的； 翻折 如图（3），(BOC≌(EOD，(BOC(EOD沿直线AO翻折180(得到的； 图1 图2 图3 知识点2、全等三角形的性质 （1）性质：全等三角形中，对应边相等，对应角相等。（对边、对角的区别） （2）全等三角形的对应线段（对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线）相等。 （3）全等三角形的周长相等，面积相等。 知识点3、全等三角形的判定 （1）“边边边”（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 （2）“边角边”（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （3）“角边角”（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （4）“角角边”（AAS）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 （5）“斜边，直角边”（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是:①三个角对应相等，即AAA；②有两边和其中一角对应相等，即SSA。 知识点4、全等三角形的证明思路 知识点5、全等三角形的综合应用 利用全等三角形可以测出不能（或不易）直接测量长度的线段长，例如，河宽，或利用全等测量小口瓶的内径等。 知识点6、证明方法 （1）综合法（执因索果）、分析法（执果索因） （2）证面积关系：将面积表示出来 （3）证线段相等、角相等常通过证三角形全等（其余有关线段和角相等的定理） （4）证线段倍分关系：加倍法、折半法 （5）证线段和差关系：截长法、补短法 知识点7、角平分线的作法、性质和判定 （1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 （2）角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 知识点8、常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． （2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． （3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． （4）遇到垂直平分线，可作线段两端的连线，利用垂直平分线的性质解题。 （5）三角形中两中点，连接则成中位线，利用中位线的性质解题。 （6）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” （7）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． （8）特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。，于D．AB＝9，AC＝13．求DE的长． 　　　 分析：延长BD交AC于F．可得ΔABD≌ΔAFD．则BD＝DF．又BE＝EC，即DE为ΔBCF的中位线． ∴ 2、已知在