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矩阵乘积可换的条件及应用 数计学院 刘艳萍 摘 要：矩阵的乘法运算一般不满足交换律，但在特殊的条件下可交换。本文从可交换矩阵和相关定义出发，对可交换矩阵做了深入的探讨，得到了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍可交换矩阵的应用。 关键词：矩阵乘法；可交换条件；应用 Interchangeable Conditions of the product of matrices and Its Applications Liu Yanping (College of Mathematics and Computer Science, Guangxi University for Nationalities, Nanning 530006) Abstract: Generally the arithmetic of the matrix multiplication unconformity commutative law, but under special conditions they are interchangeable. In this paper, the interchangeable matrix is discussed, some conditions of the matrix exchange and part of the property of the interchangeable matrix are obtained, and the applications of the interchangeable matrix are introduced also. All of these are discussed from the concept of interchangeable matrix and related definitions. Key word: product of matrices; Interchangeable conditions; application 1 引言及定义 在高等代数学习中，矩阵是一个重要内容，由矩阵的理论可知，矩阵的乘法不同于复数的乘法，矩阵的乘法运算一般不满足交换律，即对两个方阵，在一般情形下。但在某些特殊情况下，矩阵的乘法也满足交换律，这时我们称是可交换矩阵。可交换矩阵有着许多特殊性质和作用。 本文从可交换矩阵定义及相关定义出发，探讨矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并介绍可交换矩阵的一些应用。为研究矩阵可交换条件，我们先给出下列定义[1]。 定义1 若同阶方阵有，则称方阵与为可交换矩阵. 定义2 阶方阵中若元素满足，称为阶对角阵，记作 . 定义3 　若阶方阵满足，其中为阶单位阵，则称为阶正交矩阵. 用表示的转置矩阵；表示的伴随矩阵[2]。 2 矩阵乘积可交换的条件及性质 2.1 矩阵乘积可交换的条件 定理1 设是的伴随矩阵，则与乘积可交换. 证明 由即知. 定理2 （1）设，其中,为非零实数，则,可交换； （2）设，其中为正整数，为非零实数，则,可交换. 证明 （1）由可得，即　 ， 得 ， 于是 ， 所以 . （2）由得，故，于是 ，从而. 定理3[3] 设, 均是阶可逆矩阵, 若对任意实数，均有，其中为 阶单位矩阵，则,可交换. 定理4 设都是阶矩阵，则下列均是可交换的充要条件： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 证明 (1) 由及即得. (2) 由 可证得； (3) 因，两端分别取它们的转置，得，又，故 . 由矩阵运算性质及已知条件，即得，两端分别取它们的转置，得. (4) 分别由，，两边取伴随可证得. 定理5 （1）设均为阶(反)对称矩阵，可交换的充要条件是为对称矩阵； （2）设为阶对称阵，为阶反对称阵，可交换的充要条件是为反对称阵。 证明 （1）① 若均为阶对称矩阵，则 因 且，故，即为对称阵。 因又，故，即为可交换矩阵。 ② 若均为反对称矩阵，则 因且，故，即为对称阵。 因又，故，即为可交换矩阵。 （2）因，，故，即为反对称阵。 因为反对称阵, ，又，故，即可交换。 定理6 设均为对称正定矩阵，则可交换的充要条件是为对称正定矩阵. 证明 充分性显然. 下面证明必要性。 因为对称正定矩阵，故有可逆矩阵，使，于是 ， 所以为对称正定矩阵，其特征值全为正数。而与相似，从而 的特征值也全为正数，因此为对称正定矩阵。 定理7 设均为阶矩阵，若满足，则可交换的充要条件是 . 证明 因，故 即. 由于，即,分别用左乘,右乘式 的两边，得到，即. 定理8 设是阶方阵，则与任一阶矩阵可换的充要条件是（数量矩阵）. 证明 令是第行，第列处的元素为，其