DSP第二章2.4.2.pptVIP

2.5.3 逆z变换(z反变换) Z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式展开法 幂级数展开法（长除法） Z反变换: 由X(z)及其收敛域还原出原序列 x(n)。 根据复变函数理论，若函数 X(z)在环状区域 内是解析(收敛)的，则在此区域内 X(z)可展开成罗朗级数，即 级数系数为 1、围线积分法（留数法） 其中围线c是在X(z)的收敛域内环绕原点的一条逆时针方向的闭合单围线。 证明： 令n-m=k 为整数 选择积分路径c在半径为R的圆上，即 z=Re jθ Rx-RRx+ 上式为柯西积分公式。 利用留数定理求围线积分，令 若F(z)在围线c内部有K个极点zk，则： 1）留数定理。 即函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z)在围线c 内部各极点的留数之和。 若F(z)在围线c外部有M个极点zm，且分母多项式z的 阶次比分子多项式z的阶次高二阶或二阶以上，则： 2）留数定理辅助定理 函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z)在围线c外部 各极点的留数之和的相反数。 注意： 用留数定理的辅助定理改求围线外所有极点留数之和。 如果围线内有多阶极点而围线外没有多阶极点时，通常 1、单阶极点留数的计算公式 2、N阶极点留数的计算公式 如何求X(z)zn-1在任一极点zr处的留数？ 当n -1时 时 在围线c内无极点 2、部分分式展开法 X(z)是z的有理分式，可分解成常用的部分分式之和： 对各部分分式求z反变换。 每部分可通过常用z变换对或用留数定理得到。 可将X(z)展开成 则对右边序列有 则对左边序列有 常见变换对 X(z)可表示成z-1的多项式之比，若分子阶次小于分母阶次 若收敛域为环状域，对应的序列应为双边序列， 内圆上及其内部极点 pi，外圆上及其外部极点 si。 将部分分式之和分成 两部分： 对应的时域序列为 方法：部分分式展开时，通常是先对X(z)/z求部分分式。 3、幂级数展开法（长除法） 把X(z)展开成幂级数形式 级数的系数就是序列x(n) 根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 因果序列 负幂级数 降幂排列 反因果序列 正幂级数 升幂排列 解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数 解：由Roc判定x(n)是逆因果序列，用长除法展成z的正幂级数 解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应逆因果序列 先把X(z)展成部分分式 * 常系数线性差分方程 * 函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z)在围线c内部各极点的留数之和。 函数F(z)沿围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之和。 * 常系数线性差分方程 * 函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z)在围线c内部各极点的留数之和。 函数F(z)沿围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之和。