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12.8 原子中的电子 12.8.1 氢原子的量子力学结果 1. 量子数 氢原子的定态薛定谔方程，是量子力学中少数几个可以严格求解的，但解的过程十分复杂，这里不作介绍。 对于一维无限深势阱，我们从波函数中得到了量子数 n ，从而知道了粒子的能量。我们在解氢原子的过程中，可以得到三个量子数，分别介绍如下。 n = 1 , 2 , 3, …，叫主量子数。主量子数决定了氢原子的能量。所得结果与玻尔理论完全一样： （1）主量子数 n 。 （2）角量子数 l 。 ，叫角量子数，也叫副量子数。它决定了电子轨道角动量。所得结果与玻尔理论完全不同： 当有外磁场（设为 z 方向）存在时，电子轨道角动量在外磁场方向的投影只能按如下方式取值： （3）磁量子数 ml 。 ，叫磁量子数。上面结果称为空间量子化，这是玻尔理论所没有的。 （空间量子化示意图） 准确地说，电子轨道角动量只能分布在一些锥面和平面内，只要其在外磁场方向的投影满足量子化条件即可。 2. 能级的简并 在氢原子中，原子状态可以用三个量子数（ n , l , ml ）描写， 而能量只由 n 决定。由 三个量子数所决定的原子状态被称为一个量子态。一个能级对应多个量子态的情况叫能级的简并，一个能级所对应的量子态数目称为这个能级的简并度。 氢原子各能级的简并度为： 3. 电子云 上面看到，量子数虽然能决定氢原子的某些微观状态，但它们决定不了电子的位置，后者需要由波函数来解决。波函数给出电子在核外是按概率分布的（没有轨道），这通常被形象地称为电子云。 12.8.2 电子自旋 1. 施特恩－盖拉赫实验 电子绕核运动的轨道磁矩的大小为： 早在薛定谔方程建立之前，索末菲于1916年就指出，在原子中存在空间量子化现象。为了证实这一点，施特恩和盖拉赫在德国汉堡大学做了著名的施特恩—盖拉赫实验。下面我们详细分析这个实验。 写成矢量式为： 在均匀磁场中，电子轨道磁矩所受合力为零。在非均匀磁场中，电子轨道磁矩所受作用力为： 施特恩－盖拉赫实验的装置原理图如下： S N S N z 银原子通过非均匀磁场，受到磁场力作用而沿 z 方向偏转，最后打在照相底片上形成沉积。如果果真存在空间量子化现象，则在照相底片上将形成分立的原子沉积带；否则原子沉积就是连续的。 特别是后来的分析表明，当时所用银原子是处于基态（l = 0），此时 。显然所观察到的两条原子沉积带与电子轨道角动量无关。 实验结果是：在照相底片上出现两条分立的原子沉积带。从定性上看，似乎预示着存在空间量子化现象，可定量上与理论所预言的（2l＋1）不符。 2. 电子自旋假说 玻尔理论提出不久，人们就发现实际电子 态的数目是玻尔理论预期值的两倍，海森堡把这种现象叫双倍性。双倍性实际上暗示电子具有第 4 个自由度。 最早考虑电子有第 4 个自由度的人，是美籍奥地利物理学家泡利（1900～1958）。泡利开始认为电子除了绕核公转外，还会象行星那样绕自身的某个轴自转（自旋）。不过泡利经过一番计算之后，最终放弃了这种想法，因为泡利算出的电子赤道线速度超光速10倍！ 1925年，美国的克罗尼格也曾有过电子自旋的想法，但遭到泡利的坚决反对，他也没有把自己的想法写成论文发表。 1925年的晚些时候，荷兰的两位学子乌仑贝克（1900～1988）和古德斯密特（1902～1978）也提出了电子自旋的想法。他们首先同导师埃伦费斯特进行讨论，得到支持后便写了只有一页纸的论文，由埃伦费斯特推荐给了《自然》杂志。之后两人找荷兰著名物理学家洛伦兹（埃伦费斯特的导师）请教。 一周之后，洛伦兹给他们一叠写满了公式和数据的稿纸，计算结果表明：电子赤道线速度超光速10倍！乌仑贝克和古德斯密特立即回去找埃伦费斯特，想要回他们那篇论文，可埃伦费斯特已经把论文寄走了。乌仑贝克和古德斯密特为此感到十分沮丧。 乌仑贝克和古德斯密特的论文发表之后，立即受到海森堡和玻尔的赞许，泡利却对玻尔说：“ 一种新的邪说将被引进物理学 ” 。两年之后，泡利还是接受了电子自旋概念。 最后，根据实验结果 2s +1 = 2 ，所以： 至此，施特恩－盖拉赫实验的结果可以用电子自旋得到解释。 3. 电子自旋角动量 完全使用类比的方法，可认为电子自旋角动量的大小为： s 叫做自旋量子