2012届高考数学基础知识梳理5平面向量.docVIP

第五章 平面向量基础知识梳理 一、向量的概念： ⒈有向线段： 叫做有向线段. ⒉向量： 叫做向量. 向量通常用有向线段或表示. ⒊向量的模：向量的 又叫做向量的模，记作 . ⒋两个重要概念： ①零向量： 叫做零向量.记作 . 注意：零向量没有规定它的方向，因此零向量的方向是任意的. ②单位向量： 叫做单位向量. 注意：单位向量的方向与它所在向量的方向相同. ⒌相等向量： 叫做相等向量. 向量与相等记作 . ⒍平行向量： 叫做平行向量. 向量与平行可记作 . 规定：与任一向量平行.即∥，∥，∥. ⒎共线向量： 叫做共线向量. 注意：若与是共线向量，则与的方向 ，它们所在的直线 它们的夹角是 . ⒏相反向量： 叫做相反向量. 的相反向量是 ，?的相反向量是 ，的相反向量是 . ⒐两个非零向量和的夹角： . 二、向量的运算： ⒈向量的加法： ⑴向量与的和的定义： ⑵向量加法法则：①三角形法则（请画图于右）+（首尾相连） ②平行四边形法则（请画图于右）+（起点相同） ⑶向量加法运算律：①交换律： ②结合律： ⑷特例：= ，= ，= . ⑸向量加法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则= . ⒉向量的减法： ⑴向量与的差的定义：向量加上的相反向量叫做与的差，记作+(?)=?. ?是怎样的一个向量?答： . ⑵向量减法法则：设=，=， 则?=-= .（请画图于右）. 重要结论：设，是两个不共线向量，则以AB、AD为邻边的平行 四边形的两条对角线的长分别是这两个向量和与差的模. ⑶特例：= ，= ，= . ⑷向量减法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则= . ⒊实数与向量的积： ⑴定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下： ①|λ|= ； ②当λ＞0时，λ的方向与的方向 ，当λ＜0时，λ的方向与的 方向 ；当λ=0时，λ= . ⑵运算律：①λ（μ）= ；②（λ+μ）= ；③λ（）= . ⑶实数与向量的积的坐标运算： ⑷特例：若λ∈R，则λ= . ⒋向量的数量积（或内积）： ⑴定义：已知非零向量和，它们的夹角为θ，则= . ⑶运算律：①= ；②（λ）·= = ；③（+）·= . 注意：向量的数量积没有结合律！ 特别地，= ，或||= . ⑸向量的数量积的坐标运算： 设=（x1，y1），=（x2，y2），则= . ⑹特例：= ，= . 三、重要定理、公式及方法： ⒈平面向量基本定理： 如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2. ⒉向量模的计算公式：设=（x，y），则||= . ⒋如何证明A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点共线？ ⒌两个向量平行、垂直的充要条件： 大 前 提 充 要 条 件 向 量 表 示 坐 标 表 示 平 行 =(x1，y1), =(x2，y2), 且≠ ∥( ∥( 垂 直 =(x1，y1), =(x2，y2), 且≠、≠ ⊥( ⊥( 注意