测量平差协方差.pptVIP

观测误差分为 粗差 系统误差 偶然误差 要求掌握误差的来源、定义、性质以及实际观测中粗差、系统误差处理的方法。 衡量精度指标 五种数字指标的定义； 向量的精度指标。 要求掌握五种精度指标的计算方法以及具体应用时值得注意的情况、方差阵的含义、协方差的定义。 第三章  协方差传播律及权 先看两个例子： 1、设有观测值向量 的方差阵为： （1）试写出各观测值的方差以及两两协方差； （2）若有函数 ，则该函数的方差又如何？ 解决类似以上问题的方法就是： 《协方差传播律（广义传播律）》。 3-1 数学期望的传播 数学期望是描述随机变量的数字特征之一； 其定义是： 已知随机变量的数学期望求其函数的数学期望,称为数学期望的传播. 以下给出数学期望传播的几个运算公式: (1) 设C为一常数, 则: E(C)=C (2) 设C为一常数,X为一随机变量, 则: E(CX)=CE(X) (3) 设有随机变量X和Y, 则: E(X+Y)=E(X)+E(Y) (4) 若随机变量X、Y相互独立, 则： E(XY)=E(X)E(Y) 3-2 协方差传播律 从测量工作的现状可以看出： 观测值函数与观测值之间的关系可分为以下两种情况 1）线性函数（如观测高差与高程的关系）； 2）非线性函数（观测角度、边长与待定点坐标的关系）。 一、观测值线性函数的方差 设有观测值 ,数学期望为 ,协方差阵为 ，又设有X线性函数为: 求Z的方差DZZ。 为求Z的方差，我们需从定义入手。 根据方差的定义,Z的方差为： 由数学期望运算可得： 将Z的函数式以及数学期望E（Z）代入得： 由上可得出以下结论： 若有函数: 纯量形式： 则函数的方差为: 以上就是已知观测量的方差,求其函数方差的公式;也称为协方差传播律。 [例1]：已知向量 ，且 若有函数： 试求各函数的方差 。 [例2]：在1：500的地图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，d的量测中误差σd=0.2mm，求该两点实地距离S及其中误差。 [例3]：设X为独立观测值L1，L2，L3的函数： 已知L1，L2，L3的中误差 求函数的中误差 。 。 [例4]：设在测站A上（如图），已知 ，设无误差，而观测角 的中误差为 协方差 ，求角x的中误差 。 二、多个观测值线性函数的协方差阵 设有观测值 ，它们的期望、方差为 若有X的t个线性函数为: 求函数Z的方差以及它们之间的协方差？ 令: 则X的t个线性函数式可写为: 同样,根据协方差阵的定义可得Z的协方差阵为: 可以看出: 线性函数的协方差和多个线性函数的协方差阵在形式上完全相同,且推导过程也相同; 所不同的是DZZ的表示： 前者是一个函数值的方差（1行1列）; 而后者是t个函数值的协方差阵（t行t列）。 即：前者是后者的特殊情况. [例5]：已知向量 ， 且： 若有函数： 并记 ，试求 。 两组线性函数的互协方差阵的求法。 设有两组X的线性函数 若已知X的方差阵DXX; 则Y关于Z的互协方差阵DYZ以及DZY又如何? 根据互协方差阵的定义,可得: 再利用数学期望传播律，得： 同理,可得: [例6]:若有函数 : 在已知X1和X2的协方差阵D12时, 试求Y对Z的协方差阵DYZ。 解： 协方差传播律： 求函数（也可是向量）的方差（方差阵）； 适用于各观测为相关观测情况； 定律的通式为： 三、非线性函数的情况 设有观测值 的非线性函数为 ： 已知X的协方差阵DXX,求Z的方差阵DZZ。 *解决问题的关键是: 必需先将非线性函数线性化,得到和前面已推导出的公式“一致”的形式! 故，如何将非线性函数线性化，是我们需要先要解决的。 非线性函数的线性化 如果函数 在 的某一邻域内具有直到n+1阶的导数，则在该邻域内