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插值与曲线拟合的比较 摘要：对给出的一组数据(i=0,1,2,…,n),根据不同的原则我们可以利用插值法和曲线拟合法分别来构造近似函数表达式。通过例子来对比这两种方法的优缺点，虽然它们都有缺点，但都是实用性很强的方法，所以还是要多加重视。 关键词：插值；曲线拟合；插值多项式；拟合曲线 1插值与曲线拟合的区别 在科学研究和生产实践中，常常需要从一组测量数据(i=0,1,2,…,n)出发，寻找变量y与X的函数关系y=f(x)的近似表达式y=。从几何角度来说，就是利用y=的图像来近似y=f(x)的图像。插值和曲线拟合就是求近似表达式y=的两种方法。其中插值方法求出的插值多项式需要通过所有的点(i=0,1,2,…,n)，即近似表达式y=要满足(i=0,1,2,…,n)；而曲线拟合求出的近似表达式y=只要能反映数据的基本趋势就可以了，不一定过全部的点(i=0,1,2,…,n)。 2 举例 例题 利用表1数据构造插值多项式和拟合曲线。 1 3 4 5 6 7 8 10 5 4 2 1 1 2 表1 (1) 构造插值多项式。解题过程：利用牛顿插值来求解，所以先来构造差商表，如表2。 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 五阶差商 六阶差商 1 10 3 5 -2.5 4 4 -1 0.5 5 2 -2 -0.5 -0.25 6 1 -1 0.5 0.33333 0.11666 7 1 0 0.5 0 -0.083325 -0.033331 8 2 1 0.5 0 0 0.016665 0.007142 表2 图1 (2)构造拟合曲线。解题过程：将所给数据标在坐标平面上，如图l。可看出曲线图形大致为抛物线，故设变量y与x的关系为，下面先来构造矛盾方程组Ax=b即 其中 A=，b= 因为rank(A)=3=A的列数，故正则方程组有唯一解也就是我们想要的最小二乘解，下面来构造正则方程组： 所以为， 解得=0.2639，=-3.5850，=13.4451 所以。 (3)比较结果的好坏。从上例解题过程中我们看到插值法的思想很简单：先数一数有几个节点，“节点个数减一”就是我们要构造的多项式的最高次数，然后再利用我们讲过的构造方法来构造就可以了，其实就是套用公式。但它有明显的缺陷：一是测量数据通常带有测量误差，而插值多项式又通过所有的点(i=0,1,2,…,n)，这样就使插值多项式保留了这些误差；二是如果有实验提供的数据较多，则必然得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很繁琐。 与插值不同，曲线拟合不要求曲线通过所有已知点，而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系即可。比如上例中，只需求出二次的拟合曲线，这要比求出六次的插值多项式简单一些。所以在某种意义上，曲线拟合更有实用价值。但它也有缺陷：在确定拟合曲线之前要先作图来分析是什么样的曲线，这是一个很困难的过程。 3 结语 插值和曲线拟合都是利用已知的数据去寻求某个较为简单的函数y=来逼近y=f(x)，只是逼近原则不同而已。它们都有缺点，但都是实用性很强的方法，因此要认真把握这两种方法。 参考文献： [1] 李信真，成刚明，欧阳洁，封建湖．计算方法[M]．西北工业大学出版社，2004． [2] 张书杰．最小二乘法在工程数表中的应用[J]．广西轻工业，2007，10． [3] 李庆扬，王能超，易大义．数值分析[M]．清华大学出版社，2001．