1-高等数学第一讲 函数.docVIP

第一讲 函 数 §1.1 初等函数和非初等函数 一、知识结构 1、基本初等函数 (1)常函数 ，其中函数的定义域为,为常数，值域为. (2)幂函数 ，其中函数的定义域为，，值域为. (3)指数函数 ，其中，函数的定义域为，值域为. (4)对数函数 ，其中，函数的定义域为，值域为. (5) 三角函数 ①正弦函数 ，其中函数的定义域为，值域为. ②余弦函数 ，其中函数的定义域为，值域为. ③正切函数 ，其中函数的定义域为，值域为. ④余切函数 ，其中函数的定义域为，值域为. ⑤正割函数 ，其中函数的定义域为，值域为. ⑥余割函数,其中函数的定义域为，值域为. (6)反三角函数 ①反正弦函数，其中函数的定义域为，值域为. ②反余弦函数，其中函数的定义域为，值域为. ③反正切函数，其中函数的定义域为，值域为. ④反余切函数，其中函数的定义域为，值域为. 以上函数称为基本初等函数，互为反函数的两个函数的定义域、值域互换. 例如，函数（）的定义域为、值域为.其反函数（）的定义域为，值域为. 常用的非基本初等函数如下： (1) 双曲正弦函数 ，其中函数的定义域为，值域为. (2)双曲余弦函数 ，其中函数的定义域为，值域为. (3)双曲正切函数 ，其中函数的定义域为，值域为. (4)双曲余切函数 ，其中函数的定义域为，值域为或. 2、初等函数 由基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算得到的函数称为初等函数. 例如，函数为初等函数，但非基本初等函数。再例如，狄利克雷函数不是初等函数，当然也不是基本初等函数。 常用的非初等函数如下： (1) 狄利克雷函数. 狄利克雷函数是黎曼不可积函数. 理由如下,由定积分的定义,,当为有理数时，有，当为有理数时，有，所以，极限不存在，进而狄利克雷函数函数在定义域上有界，但不可积. (2)黎曼函数(定义在上) . (3) 取整函数 , , 表示不超过的最大整数. 狄利克雷函数、黎曼函数和取整函数均是非初等函数.上述函数无法通过基本初等函数经过有限次的四则运算及复合运算得到. 3、复合函数 函数，和，复合成函数，.复合函数的求导是《高等数学》中的学习重点和难点之一. 如, 函数是由三个基本初等函数，， 复合而成，所以 , 简化运算表述为： . 这叫“层层求导, 不能遗漏”. 4、反函数 设函数，满足：对于中的每一个值，中有且只有一个值使得，则按此对应法则得到一个定义在上的函数，称这个函数为的反函数，记作：，或，其中。习惯上记作，其中。 反函数的求导是《高等数学》中的学习难点之一，也是考研的主要内容之一. 例如,用求导公式得到求导公式.具体过程如下: 令,则其反函数为.进而(应用的求导公式),习惯上表示为. 再例如,用求导公式得到求导公式.具体过程如下:令,则.进而,习惯上表示为. 5、多元函数 6、隐函数和隐函数组 (1)方程所确定的隐函数 ①由方程可确定函数,方程确定的函数(未求出)为隐函数. ②由方程可确定函数,方程确定的函数 (未求出)为隐函数. 很多隐函数用显示、表示困难. 隐函数求导是《高等数学》中的难点之一，也是考研的主要内容之一.确定隐函数的自变量是谁是隐函数求导的关键. (2)方程组所确定的隐函数组 ①由方程组可确定的隐函数组或 或. 方程组所确定的隐函数组究竟是谁? 我们要在分析考题的基础上确定,如果在分析考题的基础上还不能确定, 要采取逐一试验的方法去确定.如,已知,求. 由题意知, 确定隐函数组. ②由方程组可确定的隐函数组为. 隐函数组求导也是《高等数学》中的难点之一，也是考研的主要内容之一. 方程组可确定的隐函数组为时，求；；；. 因为，且，已知，所以由可求得；.类似可求;(由同学完成). 二、解证题方法 例1 判别下列函数是否为初等函数，并说明原因。 (1) 函数, 其中函数是初等函数; (2) 函数 和 ，其中函数和都是初等函数； (3) 幂指函数 ,其中函数和都是初等函数. 解 ⑴ 是初等函数, 因为 ⑵ 和 都是初等函数, 因为 , . ⑶ 幂指函数 是初等函数, 因为 §1.2 几种特殊的函数 一、知识结构 1、积分上下限函数 (1)不含参量的积分函数 ① 积分上下限函数， 若函数在上连续，在上可微，对，有， 用导数的定义和积分第一中值定理推出，. ② 积分函数, 若函数在上连续，在上可微，和可复合为，对，有 ， 。 用上面①的结论和复合函数的求导法则推出,其中, . 的推导由同学完成。 ③ 积分函数 若函数在上连续，在上可微，和可复合为，对，有 。 用上面②的结论和积分运算性质（）的可推出. （2）含参量的积分函数 ① 积分函数, 为常数. 可微性 若函数和在上连续，则在上可微，并且. 用