高等数学(同济第六版)课件 第一章 2.数列的极限PPT.ppt

第二节 数列的极限 一、数列极限的概念 定义：若按某种法则，对每个自然数n，对应着 一个确定的实数xn，将xn 按n从小到大顺序排列 起来所得到的一列数，称为数列，简记为{xn }。 ( 注：数列是整标函数：xn =f(n) )。 如: 1, …, －1, 1, －1, … 直观定义 若当n无限增大时, 数列xn对应的项 无限接近于常数a, 则称常数a为数列 xn的极限, 记为 思考(1)数列 xn的极限与其前有限项是否有关？ 无关！ (2)数列 xn的极限与数列 xn+5的极限有何关系？ 相同！ 如何表达可以使数列极限的定义严格化？ 对任意小的正数ε，成立 当n无限增大时, xn无限接近于a 当n无限增大时, xn无限接近于a 当n无限增大时, |xn－a|无限接近于0 当n无限增大时, 对 当n足够大时, 成立 若 只需 只需 =N (自然数) 换一种说法： 存在自然数N 当nN时， 成立 总存在自然数N,当n N时, 成立 定义 那么就称常数 a 是数列 的极限, 或称数列 收敛于a 记为: 如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 自然数N 当nN时， 成立 例1 证明 （p为大于0的常数） 证 由 得 则当nN时， 取 必成立 自然数N 当nN时， 成立 例2 若0|q|1，证明 证 若 必有 小 结（一） 1.数列极限的定义： 2.用定义证明数列极限的思路： 解不等式 得: 取 （或 ） 用定义证明： 一般地：若数列{yn}有界， 是否必有 自然数N 当nN时， 成立 自然数N 当nN时， 成立 因为数列 yn有界， 所以存在常数M0, 使| yn|≤M， 对 存在自然数N,当n N时, 成立 有 故 结论：若数列{yn}有界， 有界数列与无穷小量的乘积还是无穷小量 则 即sinn!有界， 例3 求数列的极限 定理1 若数列{xn}收敛，则它的极限唯一. 证 故收敛数列极限唯一. 二、收敛数列的性质 定理2 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 得 定理3 若 则存在自然数N，当nN时，都有xn b . 且a b， （含义：若数列的极限大于数b ，则必从某一项开始，该数列之后的所有项都大于数b ） 证：因为 所以对 存在自然数N， 当nN时，都有 即 故 xn b (或ab) (或xnb) 自然数N 当nN时， 成立 推论 若 且存在自然数N，当nN时， 都有xn b ， 则a≥b ， （含义：若数列的极限存在，且从某一项开始该数列的各项都大于数b ，则该数列的极限必大于等于数b ） 三、数列极限的存在准则 准则: 单调有界数列必有极限. 证明数列 收敛。 + ··· + ··· ··· 即{xn}是有界数列. + ··· ··· 即{xn}是单增数列. 0 xn 3 故数列 收敛。 定义 存在 重要极限Ⅱ * * 当n无限增大时，即是n足够大！ 第二次课讲到此处，作业P21:T4(7)(8),T13,T16, P31:T2,T3(2)