高等数学 第一章第二节 数列的极限PPT.ppt

第一章 二 、收敛数列的性质 一、数列极限的定义 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列的极限 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： —— 刘徽 1、概念的引入 S=? 一、数列极限的定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 边形的面积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 —— 《庄子·天下篇》 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取点: 数列是整标函数 数列的几何意义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n=19 n=32 n=42 n=50 3、数列的极限 问题: 1) 当 n 无限增大时, 数列 xn 是否无限接近于某一确定的数值? 如果是, 如何用数学语言描述? 2) “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随着n的增加，1/n会越来越小。 我们可用两个数之间的‘距离’来刻化两个数的接近程度 只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。 引入符号N 和 ? 来刻画无限增大和无限接近。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可得数列极限的精确定义 定义： 设 是一数列， 为一常数. 如果对 有 存在正整数 当 时， 则称 为数列 的极限. 记为 此时也说数列 收敛于 ） 定义 N - e （ 几何解释: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 时， 有 : 定义 N - e 例如, 趋势不定 收 敛 发 散 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 已知 证明数列 的极限为1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明： 要 只要 或 当 时， 有 即 所以取 例2. 已知 证明 证: 欲使 只要 即 取 则当 时, 就有 故 故也可取 也可由 N 与 ? 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 证明等比数列 证: 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 , 则当 n N 时, 就有 故 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、收敛数列的性质 证: 用反证法. 及 且 取 因 故存在 N1 , 从而 同理, 因 故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n N1 时, 假设 从而 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 则当 n N 时, 故假设不真 ! 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 则存在 N , 但因 交替取值 1 与－1 , 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数列有界 2. 收敛数列一定有界. 证: 设 取 则 当 时, 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界. 说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 虽有界但不收敛 . 有 数列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 收敛数列的保号性. 若 且 时, 有 证: 对 a 0 , 取 推论: 若数列从某项起 (用反证法证明) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 子列的概念: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在子数列 中， 是第 项， 是第 而在数列 中， 项， 显然， 注: * *