高数极限与连续PPT.ppt

证 例4 解 (无穷小因子分出法) 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例5 解 先变形再求极限. 例6 解 左右极限存在且相等, 例7 解 思考题 在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？ 思考题解答 没有极限． 假设 有极限， 有极限， 由极限运算法则可知： 必有极限， 与已知矛盾， 故假设错误． 三、两个重要极限 (1) 例3 解 (2) 类似地, 例4 解 例5 解 第四节 无穷小与无穷大 一、无穷小 二、无穷小的比较与等价无穷小 三、无穷大 四、无穷小与无穷大的关系 一、无穷小 例如, 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数. 证 二、无穷小的比较等价无穷小 例如, 由上面结果可看出，同时无穷小, 但是趋向于零的“快慢”程度却有不同. 不可比. 定义: 例如， 例1 解 证 必要性 充分性 例2 因为 常用等价无穷小: 例3 解 定理２(等价无穷小代换定理) 证 例4 解 例5 解 注意：只有极限式中的因子才可再求极限时作等价无穷小代换． 三、无穷大 特殊情形：正无穷大，负无穷大． 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 不是无穷大． 无界， 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 1、定义： 2、另两种情形: 3、几何解释: 例5 证 三、函数极限的性质 定理3 (函数极限的保号性) 推论 定理4(函数极限与数列极限的关系) 证 例6 证 二者不相等, 四、极限存在准则 证 上面两个不等式同时成立,即 上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限。 注意: 准则 I和准则 I称为夹逼准则. 例1 解 由夹逼准则得 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 例2 证 (舍去) 思考题 思考题解答 左极限存在, 右极限存在, 不存在. 第三节 极限运算法则、两个重要极限 一、极限运算法则 二、例题 三、两个重要极限 1、无穷小的运算性质: 定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 证 一、极限运算法则 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 都是无穷小 推论3可推广到任意个无穷小的乘积的情形。 定理3 证 由无穷小运算法则,得 2.极限的四则运算 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 有界， 意义： 3.复合函数的极限运算法则 二、例题 例1 解 小结: 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 解 例3 (消去零因子法) 第二章 极限与连续 第一节 数列的极限 第二节 函数的极限 第三节 极限运算法则、两个重要极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的连续性 第六节 闭区间上连续函数的性质 第一节 数列的极限 一、数列极限的概念 二、数列极限的几何意义数列极限的性质 三、小结 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 一、数列极限的概念 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列. 2.数列可看作自变量为正整数n的函数 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 几何解释: 其中 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： 例2 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. 例3 证 1、唯一性 定理1 如果数列收敛，则数列的极限只有一个. 证 由定义, ,故收敛数列极限唯一. 二、数列极限的性质 2、有界性 例如, 有界 无界 定理2 如果数列收敛，则数列一定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. 注意：有界数列也可能发散 3.收敛数列的保号性 4、子数列的收敛性 注意： 例如， 定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同． 证 证毕． 三、小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性. 第二节 函数的极限 一、自变量趋向有限值时函数的极限 二、自变量趋向无穷大时函数的极限