函数极限与连续PPT.ppt

第二个重要极限： （1）此极限主要解决1∞型幂指函数的极限 说明： （2）它可以形象的表示为：（其中□表示相同的 变量或表达式） 或 例4、 求 当 从0左右两侧趋近于0时， 的表达式不一样, 须考察左右极限. 解： 左右极限存在但不相等, 例5、 解： 1、 无穷小量 定义 如果在x的某种趋向下，函数f (x)以零为极 限，则称在x的这种趋向下，函数f (x)是无穷小量， 简称无穷小。 例如，数列 的极限是零，故 （当n→＋∞时） 是无穷小量。当x→∞时，函数 是无穷小量。 当x→0时，sinx和 lg(1＋x)也都是无穷小量。 三、无穷小与无穷大 定理1 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 例如，当x→0时，x3和sinx都是无穷小量， 所以x3＋sinx也是无穷小量。 无限个无穷小量的和就不一定是无穷小量了。 定理2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x→2时，(x2－4)和ln(x－1)都是无穷小量， 所以(x2－4)ln(x－1)也是无穷小量。 2、无穷小量的性质 定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x→0时，函数x是无穷小量，而 是 有界函数，所以 也是无穷小量 定理4 常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x→＋∞时，2-x是无穷小量， 所以3×（2-x）也是无穷小量。 3、 无穷小量的比较 已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小， 但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？ 定义: 无穷小量的比较 定义 如果在x的某种趋向下，函数 f (x)的绝对值 可以任意地大，则称函数是在的这种趋向下的无穷大 量，简称无穷大。 例如，当x→∞时函数x2是无穷大量，当x→0时函数 1/x是无穷大量，当x→＋∞时函数ln(1＋x)是无穷大量。 4、无穷大量 在自变量的变化过程中为无穷大量的函数f (x) ，按极 限的定义其极限是不存在的。但是为了便于叙述函数 的这一性态，可以这样说：函数的极限是无穷大量， 并记做 lim f (x) ＝∞ 类似地，还有 lim f (x) ＝＋∞ lim f (x) ＝－∞ 这样一来，相关的极限就可以方便地表达了。 前面的几个例子可以写成 无穷大量的倒数是无穷小量 恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量 5、无穷小量与无穷大量的关系 6、极限存在准则 1.夹逼准则(两边夹定理） 注意: 准则 和准则 称为夹逼准则. 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: 四、极限运算 本节内容 极限的运算法则 两个重要极限 1、极限的运算法则 设 lim f (x)＝A ， lim g(x)＝B ，则 （1）lim[f(x)±g(x)]＝ limf(x)±limg(x) =A±B （2）lim[f(x)·g(x)]＝ limf(x)·limg(x) ＝ A·B 或 lim[f (x)]n＝[limf (x)]n＝ An （n为正整数） （3）lim[C·f(x)]＝ C·limf(x) ＝ C·A （C为常数） （4） （B≠0） 或 lim[f(x)]g(x)＝[limf(x)] limg(x) =AB, limf(x) 0 利用上述极限运算法则求下列函数极限 例1 解： 解：因为分母 所以原式 例2 求 解： =∞ + - - ? 4 5 3 2 lim 2 1 x x x x 故由恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量得 = - + - ? 0 3 2 4 5 lim 2 1 x x x x 但因 = + - ? , 0 ) 4 5 ( lim 2 1 x x x 不能应用商的极限运算法则。 因为分母的极限 例3 ，不能应用商的极限运算法则。 因为分母的极限 但因 时 。 ，故 解： 型 例4、 解： “ 抓大头” 解： 例5、 解： 例5 练： 求下列函数极限 解： 解： 解： 练习 求下列极限： （1） （2） （3） （2） （1） 解: （3） 通过本题的解答可以得到如下的一般结果： 当a0，b0≠