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第二章 数列极限 数列极限概念 【教学题目】 数列极限概念 【教学目标】 1 建立数列极限的准确概念 2 会用定义证明数列极限 3 理解数列收敛、发散及无穷小数列概念 4 了解无穷大数列 5 了解并运用数列极限的等价定义 【教学重点】 掌握数列极限的概念 【教学难点】 数列极限的定义及应用 【教学方法】 讲授式 【课前复习】 什么是数列 【课时安排】 4学时 数列：能够和自然数形成一一对应且按照自然数从小到大排列的一列数 或者说，若函数 的定义域为全体正整数集合 ，则 称 为数列 【新课讲授】 引言 eg1 古代哲学家庄周所著的《庄子 天下篇》引用过的一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”即第一天取下 ，第二天取下 ，第n天取下 ，即得到数列 从例题中不难看出，数列通项随n的增大而趋于0，对于数列 ，若当n无限接近某一常数a，则称此数列收敛，常数a称为该数列的极限。 注：收敛数列特性即随n的无限增大， 无限接近某一常数a。 导入新课 定义1 设 为数列，a为定数，若对任给的正数 ， 总存在正整数N，使得当nN时，有 ，则称数 列 收敛于a,定数a称为数列 的极限，记作 该定义称为数列极限的 定义 。 注：① N的存在性 ② N对 的依赖性 ③ N只管其后，不管其前 若数列 没有极限，则称 不收敛，或称 为发散数列。 举例说明如何运用 定义来验证数列极限。 eg2 证明 ，这里 为正数。 证 由于 ，故对任给的 0,只要取 则当nN时，便有 ，即 eg3 证明 解 分析 由于 （n 3） 故对任给的 0,只要 ，便有 即当 时，上式成立，又 ，故应取 证 任给 0,取 ， 由分析可知， eg5 证明 ,其中a0 证 当a=1时，显然成立，现设a1,记 则 由 得 当 时，就有 即 所以 对于0a1的情形，类似可得。 综上： eg6 证明 证 若a=0,结论成立。 设 , ,有 其中 。 ，取 ，只要 ， 就有 由上述几个例题我们可以初步掌握数列极限的有关知识，对此还应从以下三点加以强调。 1 的任意性。 是衡量 与 的接近程度的， 越小说明越接近。而正数 可以任意小，即 与 a 可以无限接近，但尽管 ε 有任意性，一经给出便被暂时确定下来了，以此来求N的值。 2 N的相应性。一般而言，N随 ε的变小而变大，由此可说N是依赖于 ε 的，但并不是完全由 ε 决定，这里着重强调的是N的存在性。 3 从几何意义上看，当nN时，有 意味着：所有下标大于N的项落在邻域 内，而在 外，数列 中的项只有N个即有限个。反之， ，若在 之外，数列 中的项只有有限个，设这个有限项的最大下标为N，则当nN时，有 。 由此可得数列极限的等价定义如下： 定义1 ,若在 之外，数列 中的项至多有有限个，则称数列 收敛于a. 由上述定义可知，若存在某个 ，使得数列 中有无穷多个项落在 之外，则 一定不以a为极限。 eg7 证明 和 都是发散数列。