北京市丰台区2015-2017学年度第一学期 初三数学 人教版九年级上册（新）第24章 圆 综合练习题 学生版 无答案+教师版 含答案.docVIP

北京市丰台区2015-2016学年度第一学期 初三数学 第24章 圆 综合练习题 一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等） 1. 如图，为⊙O的直径，为弦，，交于，，． （1）求证：，并求的长； （2）延长到，使，连接，判断直线与⊙O的位置关系，并说明理由. 1．解：，. ，． 又， ．　　． ． （舍负）．　　 （2）直线与相切．　　 连接．为的直径，． 在中，由勾股定理，得． ． ，． （或，是等边三角形，． ，．） ．⊥． 又点A在圆上，直线与相切． 2. 已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长； （3）求图中阴影部分的面积． 2．（1）证明：连接DO. ∵是等边三角形 ，∴∠C=60°，∠A=60°， ∵OA=OD， ∴是等边三角形. ∴∠ADO =60°. ∵DF⊥BC ，∴∠CDF =30°. ∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF= 90°.∴DF为⊙O的切线. （2）∵是等边三角形，∴CD=AD=AO=AB=2. Rt中，∠CDF =30°，∴CF=CD=1. ∴DF=. （3）连接OE，由（2）同理可知E为CB中点，∴. ∵，∴. ∴． ∴． ∴． 3、如图，已知圆O的直径垂直于弦于点，连接并延长交于点，且． （1）请证明：是的中点； （2）若，求的长． 3、（1）证明：连接，如图 ，且过圆心 ，，是等边三角形． 在中，，点为的中点 （2）解：在中， 又， 4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC = 60?，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作交PQ于点D． （1）求证：△CDQ是等腰三角形； （2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值． 4． （1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°. ∵CD⊥OC，∴∠DCQ=∠BCO=30°， ∴∠DCQ=∠Q，∴△CDQ是等腰三角形. （2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，AC=，BC=. ∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，∴CQ=BC=. ∵AQ=AC+CQ=1+，AP=， ∴BP=AB－AP= PO=AP－AO=， ∴BP∶PO=. 5． 已知:如图, BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C, 交半圆O于点E，且E为的中点. （1）求证：AC是半圆O的切线； （2）若，求的长． 5.解：（1）连接OE, ∵E为的中点，∴． ∴ . ∵，∴.∴ .∴OE∥BC. ∵BC⊥AC， ∴∠C=90°. ∴ ∠AEO=∠C=90°. 即OE⊥AC. 又OE为半圆O的半径，∴ AC是半圆O的切线. （2）设的半径为， ∵，∴. ∴. ∴. ∵OE∥BC，∴.∴. 即 ∴. 6.如图，内接于⊙O，过点的直线交⊙O于点，交的延长线于点，且AB2=AP·AD （1）求证：； （2）如果，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长. 6.解：（1）证明：联结BP． ∵　AB2=AP·AD ，∴　=． ∵ ∠BAD=∠PAB，∴ △ABD∽△APB， ∴ ∠ABC=∠APB，∵∠ACB=∠APB， ∴ ∠ABC=∠ACB．∴ AB=AC. （2）由（1）知AB=AC． ∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形． ∴∠BAC=60°， ∵P为弧AC的中点，∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°， ∴∠BAP=90°， ∴　BP是⊙O的直径， ∴　BP=2， ∴ AP=BP=1， 在Rt△PAB中，由勾股定理得　AB2= BP2－AP2=3，　∴ AD==3． 7．如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的⊙O经过 点D. （1）求证： BC是⊙O切线； （2）若BD=5, DC=3, 求AC的长. 7.（1）证明: 如图1，连接OD. ∵ OA=OD, AD平分∠BAC, ∴ ∠ODA=∠OAD, ∠OAD=∠CAD. ∴ ∠ODA=∠CAD. ∴ OD//AC. ∴ ∠ODB=∠C=90?. ∴ BC是⊙O的切线. 图1 （2）解法一: 如图2，过D作DE⊥AB