必修一_基本初等函数_知识点讲解.doc

基本初等函数 第一讲 幂函数 1、幂函数的定义 一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数. 如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 注意：中，前面的系数为1，且没有常数项 2、幂函数的图像 （1） （2） （3） （4） （5） 定义域 R R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在第Ⅰ象限单调增减性 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递增 在 第Ⅰ象限单调递减 定点 （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） （1，1） 3、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：）； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 ； 第二讲 指数函数 1、指数 （1）n次方根的定义 若xn=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号. 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质 ①当n为奇数时，=a. ②当n为偶数时，=|a|= （3）分数指数幂的意义 ①a=（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）. ②a==（a＞0，m、n都是正整数，n＞1）. 2、指数函数的定义 一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R. 说明：因为＞0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R. 若＜0，如在实数范围内的函数值不存在. 若=1, 是一个常量， 不符合. 指数函数的图像及其性质 图象特征 函数性质 ＞1 0＜＜1 ＞1 0＜＜1 向轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1） =1 自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 ＞0，＞1 ＞0，＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1 在第二象限内的图 象纵坐标都大于1 ＜0，＜1 ＜0，＞1 （1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. （2）在（＞0且≠1）值域是 （3）若 （4）对于指数函数（＞0且≠1），总有 （5）当＞1时，若＜，则＜； 第三讲 对数函数 对数 （1）对数的概念 一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作 叫做对数的底数，N叫做真数. 如：，读作2是以4为底，16的对数. ，则，读作是以4为底2的对数. （2）指数式与对数式的关系： ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）. 两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①loga（MN）=logaM+logaN.　　　　　　　　　②loga=logaM－logaN. ③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1） ④对数换底公式：logbN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）. （4）两类对数 ① 以10为底的对数称为常用对数，常记为. ② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为. 以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即. 对数函数的概念 一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 3、对数函数的图象及其性质 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称. 图象的特征 函数的性质 （1）图象都在轴的右边 （1）定义域是（0，+∞） （2）函数图象都经过（1，0）点 （2）1的对数是0 （3）从左往右看，当＞1时，图象逐渐上升，当0＜＜1时，图象逐渐下降 . （3）当＞1时，是增函数，当 0＜＜1时，是减函数. （4）当＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当0＜＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0