专题九、直线与圆的方程(师).docVIP

专题九、直线与圆的方程 一、直线方程和两直线的位置关系 （一）一级考点清单 1、直线的倾斜角：把轴绕着交点逆时针旋转到和直线重合时所转的最小正角， 2、直线的斜率 （1）定义式：；（2）（注意适用的条件） 3、直线的方程 （1）点斜式： （2）斜截式： （3）两点式： （4）截距式： （5）一般式： （注意分别适用的条件） 4、两条直线的位置关系 （1）平行 （异积差零） （2）垂直 （同积和零） 5、两直线成的角（大纲要求） （1）方向角（一条直线到另一直线的角）：； （2）夹角： 6、点到直线的距离公式：（点代比斜） 7、两条平行线的距离公式：（常代比斜） （二）二级考点清单 1、直线的方向向量 （1）；（2）；（3）； （4）单位向量： 2、在某个区域摆动的直线的斜率的范围（取边夹中） 界线斜率先计算，九十度线是关键；包含此线取两边，不含此线夹中间。 3、中积最小：过的直线与坐标轴在P所在象限围成的三角形AOB（A、B为直线与轴的交点）面积最小当且仅当P为线段AB的中点，此时： （1）横截距纵截距（2）；（3）直线方程：。 4、关于对称的重要结论 （1）点关于对称的点为； （2）点关于的对称点为（轴解代入）； （3）点关于的对称点为 （率积代入）。 5、关于反射的重要结论 （1）反射角等于入射角，镜线与法线均为对称轴； （2）坐标轴为镜线时，入射光线与反射光线的斜率互为相反数； （3）入射光线经互相垂直的镜线二次反射后反射光线与入射光线平行。 6、直线系方程 符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系方程有如下几种： （1）过定点M的直线系方程为，其中不包括直线； （2）和直线平行的直线系方程为； （3）和直线垂直的直线系方程为； （4）经过两相交直线的交点的直线系方程为 ，其中不包括直线。 二、例题选讲 例1、已知直线经过直线与的交点。 （1）若点到的距离为3，求的方程； （2）求点到的距离的最大值。 解析：交点为 （1）注意讨论直线斜率不存在的情况，或； （2）由几何特征知距离的最大值即为。 例2、将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，求 的值。 解析：先求出折痕所在直线方程为，再利用对称性得。 例3、求函数的最小值。 解析：，利用几何特征得最小值为。 例4、已知圆直线，且与圆C交于P、Q两点，点 满足 （1）若时，求的值； （2）若时，求直线的倾斜角的取值范围。 解析：（1）直线要过圆心，得 （2），参见2010版五三（理科）第152页第7题 二、圆的方程 （一）一级考点清单 1、圆的方程 ①标准式： ②一般式： ③参数式： 2、圆上一点处的切线方程为； 圆上一点处的切线方程为 3、点与圆的位置关系： P在圆上；P在圆外；P在圆内 （二）二级考点清单 1、阿波罗尼奥斯圆：平面上到两个定点的距离的比为定值的点的轨迹是圆。 2、以点为直径端点的圆的方程为 三、例题选讲 例1、求圆心在直线上，且过两圆与 的交点的圆的方程。 解析：法一：求出交点，得圆方程为； 法二：利用圆系方程求解亦可。 例2、圆在轴上分别截得弦长为14和4，且圆心在直线上，求此圆方程。 解析：设圆的方程的标准形式，得或 例3、已知圆C和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆C的方程。 解析：设圆的方程的标准形式，得或。 三、直线与圆 （一）一级考点清单 1、线与圆的位置关系 ①相离： ②相切： ③相交： 2、圆与圆的位置关系 ①内含： ②内切： ③相交： ④外切： ⑤相离 （二）二级考点清单 圆和的公共弦所在的直线方程为。 三、例题选讲 例1、求过点向圆所引的切线方程。 解析：或 例2、自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆 相切，求光线所在的直线方程。 解析：或 例3、已知圆及直线。 （1）证明：不论取什么实数，直线与圆C恒相交； （2）求直线被圆C所截得的最短弦长及此时直线的方程。 解析：（1）直线过定点，圆心到A的距离小于圆的半径5，得证； （2）弦最短时即为AC垂直于，得最短弦长为，直线方程为。 四、巩固练习 1、点关于直线的对称点是（ D ） A． B． C． D． 2、是“直线与直线平行”的（ C