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切割问题 ------规划建模案例之一 例1 下料问题 （一维下料） 例12 下料问题（二维下料） 例3 北方食品购车问题 基本情况说明 运输线路安排 * 例14 下料问题（钢管下料） 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客要求进行切割后出售，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m长。 （1）现有一客户要求50根4m长、20根6m长、15根8m长的钢管，应如何下料最省？ （2）零售商如果采用的不同切割模式太多，就会增加生产过程的复杂化，从而增加成本。所以该零售商决定采用的切割模式不超过3种，此外，该客户除了（1）中需求外，还需要10根5m长的钢管，应如何下料最省？ 1、问题分析 该问题首先搞清楚，如何才是有效的下料方式。比如，19m长原料钢管可以切4根4m的钢管，剩下3m；也可以切3根6m的钢管剩下1m；可以切2根8m的钢管剩下3m；还可以切3根4m加1根6m的两类钢管，剩下1m；等等。那些是合理的呢？ 我们把所有的钢管切割方式（切割模式）列举如下表 3 2 0 0 7 1 0 3 0 6 1 1 1 1 5 3 0 2 1 4 3 1 0 2 3 1 0 1 3 2 3 0 0 4 1 余料/m 8m根数 6m根数 4m根数 切割模式 如上表所示，共有7种模式，在满足客户需求的情况下，钢管商只能决定每种模式切割多少根，使得最省。 其次，什么叫做最省，这个问题，有两种理解，原料钢管最省和余料钢管最省。在没有明确要求下，两种目标都可以讨论。 2、问题1的数学模型 变量设置：xi表示按照第i种切割模式切割钢管的根数， i=1,2,…,7 目标函数有如下两种情况： 余料最省 原料最省 需要满足客户要求 变量要求 注意：两个目标不同，计算结果肯定不同，余料最省，需要27根原料钢管；如果是原料钢管最省，需要25根原料钢管。到底哪个目标好呢？需要看实际问题中余料是否还有用途，或者余料和原料的实际价格来比较。 3、建立问题（2）的数学模型 问题（2）中客户要求又多了一种规格，需要按照（1）列出切割模式，但是，如果客户要求甚多，列出所有的切割模式比较麻烦。且，问题要求不超过三种切割模式。不妨设三种切割模式下，不同规格的切割根数也是变量，那么，问题就变成了非线性规划问题。 变量设置： xi：表示按照第i种切割模式切割的原料根数，i=1,2,3; rij：表示第i种切割模式中第j种规格的钢管根数, i=1,2,3;j=1,2,3,4. 目标函数 满足客户要求 数学模型： 每种切割模式必须是可行、合理，即每根原料钢管的成品量不超过19m，也不能少于16m（预料不超过3m）。 变量约束 例15 下料问题(易拉罐下料) 某公司采用一套冲压设备生产一种罐装的饮料的易拉罐，这种易拉罐是用镀锡板冲压制成的(参见下图)。易拉罐为圆柱形，包括罐身、上盖和下底，罐高10cm，上盖和下底直径为5cm。该公司使用两种不同规格额度镀锡板原料，规格1的镀锡板为正方形，边长24cm；规格2为长方形，长、宽分别为32cm和28cm。由于生产设备和生产工艺的限制，对于规格1的镀锡板原料，只可能按照下图的模式1、2或3进行冲压；对于规格2的镀锡板原料只能按照如图的模式4冲压。使用模式1、2、3、4进行每次冲压所需时间分别为1.5s、2s、1s、3s。 该工厂每周工作40h，每周可供使用的规格1、2的镀锡板原料分别为5万张和2万张。目前每只易拉罐利润为0.10，原料余料损失为0.001元/cm2（如果周末有易拉罐身、上盖、或下底不能配套组装成易拉罐出售，也看作原料余料）。工厂如何安排每周的生产？ 模式1 模式2 模式3 模式4 罐 身 上盖 下底 易拉罐下料模式图 1、分析问题 这个问题因为车床的问题，把切割模式规定了。两种不同的原料锡板，切割后需要配套成易拉罐，注意到不配套的易拉罐成品一周内也是废料，在计算废料时需要特别注意。按照问题叙述，决策者之需要决定四种冲压模式各切割多少张。（设易拉罐底和盖无区别） 2、变量设置 pi：圆周率，这里取pi=3.1416； xi：表示按照模式i切割的镀锡板原料的张数，i=1,2,3,4； y1：表示易拉罐的罐身的张数； y2：表示易拉罐的上盖和下底的总张数。 qi：表示第i模式切割后的余料面积；i=1,2,3,4 Y3：余下的罐身数量； Y4：余下的罐底数量； w：表示易拉罐的成品数； a：规格1的镀锡板的边长； L：规格2的镀锡板的长； h：规格2的镀锡板的宽； d：易拉罐的上盖和下底直径； f：易拉罐的侧面（罐身）的高度； S1:易拉罐侧面的面