子群（一）.docVIP

子群 　　利用群的某些子集来研究整个群的性质是群论研究的方法之一。本节我们将考虑这样一些有特殊性质的子集合。 　　定义1 设是群，是的一个非空子集.如果按中元素的二元运算，也构成群，则称是的一个子群.记为。 　　　定理1 设是群,。则的单位元是的单位元,中元素在中的逆元也是作为中元素时在中的逆元。 　　　定理2 设是群的非空子集。 则是的子群的充分必要条件是： 　　(1) 有 　　(2) 有 　　　定理2中条件(1)(2)，可以合并为一个条件 　　(3) 有 　　　如果所给的非空子集是一个有限子集，则成为子群的条件还可以再简化. 　　定理3 设是群的一个非空有限子集，则是的子群的充分必要条件是： 　　有 (*) 　　　注意这个定理，只要求是有限集，并没有要求是有限集。 　　　　　　命题1 设是群的一簇子群，则它们的交 　　 　　是群的子群. 　　　　命题2 设是群的子群簇，如果 　　 　　则是的子群. 　　实际上,命题2可以推广为：如果是群的子群簇，对任意两个有或成立，则是的子群。 　　下面介绍如何给出一般子群的方法. 　　设是群的一个非空子集.当然未必是的子群.但能否由此扩大一些，即扩充一些元素到中，使得扩充以后的集合是的一个子群?这当然是可以做到的，比如将中所有元素都扩充进去，但这种作法显然意义不大。具体做法是： 　　从中元素出发，将中所有元素的可能的乘积、逆元素都添加进去.比如， 　　那么，所要添加的元素，如 　　 　　更一般地，如 , 其中是非负整数，表示群的单位元，由此方法添加而得到的集合记为，因为两个这种乘积形式的元素乘起来还是这种形式的乘积元素，这种乘积元素的逆元素还是这种形式的乘积元素，由定理2，是的一个子群，这个子群包含了。包含的子群一般不止一个，比如也是一个包含的子群，但包含的子群一定包含.这是因为，如果是包含的子群，则由定理2，必须满足定理2的(1)和(2)两个条件，因此，由中所有元素的可能乘积及逆元必须属于，故.由此可见，是包含的的最小子群.这个子群称为由生成的子群.而称为这个子群的生成元. 　　命题3 设是群，是的一个非空子集，则是中所有包含的子群交。 　　　群的任意子群都可以认为是某个子集生成的子群,比如至少由生成.但这种生成元意义不大。我们总是希望能有一个真子集作为生成元，而且这种生成元所含元素个数总是希望越少越好，但是要求出这种生成元并不是容易的事。下面例子是利用高等代数的知识，来计算特殊线性群的生成元。 　　　　　如果是有限集，则由生成的群称为有限生成群。特别当只有一个元素时，这种由单元素生成的群称为循环群。 　　设.为了方便，记. 由于添加中元素可能的乘积及逆元素，只能是： 子群 定义2 设是一个群，是一个取定的元素，称是的一个循环子群;如果，则称是循环群，而是这个循环(子)群的一个生成元。 　　当群的运算记为加法时，生成子群中元素应如何写？ 　　例如：整数加群中由生成的子群应如何写出其元素？ 　　 　　上面关于循环群的概念是一个非常重要的概念。下面通过一些例子认识一下循环群。 　 　　　　我们将在第§6节证明，循环群本质上只有两类. 　　命题4 循环群的子群也是循环群. 　　　定义1 设是一个群，是的单位元.对于元素如果存在最小可能的自然数使得则称是元素的周期，有时也称此为元素的阶,记作 如果这样的自然数不存在,则记 　　应注意的是，上述定义的周期，是在群的运算为乘法时的定义。当群的运算是加法时,应以最小的自然数 使得作为元素的周期。当然，如果不存在这样的自然数，元素 的周期也是 　　定理4 循环群的阶数 　　　定理5 设是循环群，是的两个循环子群，则 　　(1)当无限时，当且仅当 　　(2)当并且时，当且仅当