圆锥曲线中的基本问题.docVIP

圆 锥 曲 线 中 的 基 本 问 题 北京市顺义牛栏山第一中学 胡亚萍 张传海 （一）已知（或通过求出的）方程，求解性质或有过问题 例1．已知，且，求的最值。 分析：问题实质是求已知椭圆上的点到原点的距离的平方的最值。椭圆可化为，则，有。问题转化为求函数在区间上的最值。 略解：由分析所得，的图像的对称轴为及（开口向下），可知在区间上位增函数。 所以，，。 评析：本题容易误解为解方程组，消去后，得到方程有实数根，由，得到，所以，。这里忽略了的条件，在该区间内不可能取。 例2．两束光线从同一点M(-2,3)射到x轴上两点，后被x轴反射，是否存在实数，使得当时，反射光线恰好通过曲线的两个焦点，若存在，求对应曲线的名称，及的取值（或范围）；若不存在，说明理由。 分析：这是开放性的问题，先封闭研究。在假设存在的情况下，借助于标准方程找到与的关系式，由的取值确定是否存在实数或相应的取值范围。 解：的方程为，点M(-2,3)关于x轴的对称点为，，。 （1）当时，为中心在点（2,2），长（或实）轴平行于x轴的椭圆（或双曲线） 焦点为，，由共线，得，即；① 由共线，同理，得；② ②-①得： 。 当时，为椭圆，则； 当时，为双曲线，则。 （2）当时，为中心在点（2,2），长轴平行于y轴的椭圆， 焦点坐标为，（其中） 由共线，得； 由共线，得； 所以， 由，得。 而在（4,8）上是增函数，所以，当时，为椭圆，则； 评析：这里借助于标准方程求的与的关系式，也属于已知方程求解的问题。 （二）已知性质（或有关条件），求方程 这里只研究解决定形（圆锥）曲线的定型方程的问题（不研究求轨迹方程）。解决这类问题的思路是：定形（确定曲线的形状）、定位（确定中心或顶点及焦点的位置）、定型（设出方程的类型）、定量（用待定系数法确定方程中的字母参数值）。 例3．已知曲线S的两条渐近线都经过点（0,1），且与A（2,1）为圆心，为半径的圆相切，曲线S的一个顶点与点A关于斜率为正数的渐近线对称，求曲线S的方程。 分析：由已知双曲线S的中心在（0,1），，只须求得渐近线便可确定顶点（或焦点）的位置，从而设出方程类型。求字母参数。 解：双曲线中心为点（0,1），设一条渐近线为，由已知有。解之得，则。 点A（2,1）关于直线的对称点为（0,3），则另一个顶点为（0,-1）,设双曲线的方程为：，由，得，再由，得。 所以，双曲线的方程为。 评析：当确定渐近线方程为，及以后，也可以用与它共渐近线的双曲线系：，用点（0,3）代入曲线系方程，得，也可得上述双曲线方程。 例4．已知圆，，动圆在圆内部和圆相内切，和圆相外切，求动圆圆心P的轨迹方程。 分析与解：设动圆半径为r，由分别与圆相内切，和相外切，得，由此得，表明动点P到两定点、距离之和为定值。根据第一定义，点P轨迹是椭圆（定形），以（-4,0），（4,0）为焦点，因而中心为原点，焦点在x轴上（定位），由，得，所以轨迹方程（定型）为：。 评析：本题虽然为求轨迹方程但通过分析可确定曲线的形状，因而可用定位、定型、定量的思想方法求解。 （三）直线（或借助于直线）与圆锥曲线位置关系的问题 这类问题主要解决的是已知方程，确定位置关系，或已知位置关系确定方程（或方程中参数字母的值），或借助于位置关系解决有关的问题。 例5．设有双曲线，过点的直线与双曲线交于A、B两点，若点P不可能成为线段AB的中点，求的取值范围。 分析：由原命题与逆否命题的关系可知，只须求的P为线段AB的中点时的取值范围的补集即可，涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点问题，用直线的参数方程较为方便。 解：设过点P的直线方程为，，代入方程，整理得：，由（否则直线与渐近线平行无两交点），则有： ，由P是线段AB的中点，则，从而得，即，代入上式，得：，，解之，得或，即或。 则P不可能成为线段AB的中点的的取值范围或。 评析：这里巧妙地利用直线的参数方程先求P是AB中点的的取值范围，则它的补集就是P不可能成为AB中点的的取值范围。若用直线的点斜式直接求P不是AB的中点的的取值范围则比较麻烦。 例6．已知实数满足，分别求与的最大值。 分析：要求的最大值就是求圆上任意一点与原点连线斜率的最大值，这就需要借助于求过原点与圆相切时直线的斜率；要求的最大值，设，则，借助于求直线与圆有公共点时纵截距的最大值。 解：设OT与圆相切于T，圆心，，，则。 显然有， 即的最大值为； 设，则 代入，整理得： ， 令， 解之得：，所以的最大值为。 评析：若设，则，代入圆的方程，得到，，得，因此得最大值为。 求的最大值时也可用圆的参数方程： ，，则=2+，可求得的最大值为，读者看到此法求的最值较为容易。 x y O T 1 C(2,0)