行列式的性质-第四节行列式的性质.pptVIP

第四节 行列式的性质 * 定义1 把n阶行列式 的行依次变为列得到的行列式 称为D的转置行列式， 证明: 如果交换乘积(1)中两个因子的位置, 从而s+t的奇偶性不变. 则相当于对排列 和 同时施行一次对换，于是排列 的奇偶性同时改变。 引理 n阶行列式 的项 前带的符号是 这里 所以乘积(1)可经一系列对换因子的次序变成 由于排列 可经一系列对换变成 自然排列12…n。 因为(1)和(2)是同一项,所以这项前所带的符号为: 性质1 行列式与其转置行列式相等。 证明：设 为n阶行列式 的一项。 由于它的n个因子位于D的不同行不同列， 所以也位 于的不同行不同列， 由引理知，无论在D中还是 中，这一项所带的符号 都相等， 因此，D的任一项都是 的项。 反之亦然，又因为D和 都含n!项。所以D= 。 从而它也是D的一项。 即都是 性质2 交换行列式的两行（列），其值变号。 （i行） (j行) 第i，j两行,得： （i行） (j行) D的每一项可写成 （3） 显然，项（3）的元素也位于 的不同行不同列， 从而它也是 的一项。 同样， 的每一项也都是D的一项。 又因为D 和 都含n！项， 所以D与 含有相同的项。 注意到 是由D交换第i，j两行得到的， 另外，项（3）在D中所带的符号是 而列的次序没有改变， 即项(3)在D中所带的符号和在 中所带的符号相反, 所以D和 的符号相反。 项(3)在 中所带的符号 是 所以由上面的引理，并注意到τ（1…j…i…n)为奇数, 所以交换D的这两行后D并没有改变， 性质3 如果一个行列式有两行相等（即有 两行元素对应相等），那么其值等于零。 证明：设行列式D的第i，j两行相等（i不等于j）。 由性质2，交换这两行后，其值变号， 那新的行列式为-D。 但另一方面，由于D的第i，j两行相等， 从而D=-D，因此D=0。 性质4 把行列式的某一行乘以数K（即把该行 的所有元素都乘以K），相当于以数K乘这个行列式。 证明:由行列式定义知 推论1 若行列式某一行有公因子K,则可将K提到行列式号外. 性质5 若行列式D有两行成比例(即这两行的对应元素 成比例).则D=0 证明: 设D的第i,j两行成比例.不妨设有数K,使 将D的第i行的公因子K提到行列式号外,得D=K .此时 的第i,j两行相同,从而 =0.因此D=0 推论2 若行列式有一行元素全为零,则其值为零. 性质6 若行列式D的第i行的每个元素都可 以表示成两项的和: 证明: 由行列式的定义, 性质7 把行列式某一行的K倍加到另一行(即把某 行的元素乘以数K后加到另一行的对应元素 上去),行列式的值不变。 证明：把行列式 的第i行的K倍加到第j行的对应元素上，得：