有理数中的数学思想.docVIP

有理数中的数学思想 山东 刘书妹 具备必要的数学思想可以帮助我们更加理性地学习、驾驭数学. 本文针对有理数中涉及的数学思想举例分析. 一、分类讨论思想. 在有理数及其运算中，涉及分类讨论思想的知识点较多，比如：有关数轴、绝对值、偶次幂的题目往往涉及多种情况，要具备分类讨论思想，才能将题目回答完整. 例1 如果、、是非零有理数，求的值. 析解：此题主要考查绝对值的意义. 因为、、是非零有理数，所以它们的绝对值有两种情况，或者是它们的本身，或者是它们的相反数. 此题可分为以下四种情况求值. 当、、的绝对值都取本身时，原式为3. 当、、的绝对值有两个取本身时，原式为1. 当、、的绝对值有一个取本身时，原式为. 当、、的绝对值都取相反数时，原式为. 二、数形结合思想. 数轴是数形结合最重要的工具，通过数轴可以求两点间的距离，可以比较数的大小. 例2 有理数、、在数轴上的位置如图所示：化简. 分析：这是一道数形结合的题目. 此题的难点是对的化简，可用两种方法化简.法一：由数轴可知，因此， ，注意这里要把“”当作一个整体，它的绝对值是它的相反数，化简，可看作=. 同理，. 法二：可看作数轴上表示c、b的两点间的距离，因此. 原式 =. 三、方程思想. 方程思想是重要的数学思想. 不管是一般的数学问题、还是实际应用题，只要存在相等关系就可以列出方程，解决问题. 例3 如果、互为相反数，、为倒数，. 求的值. 析解：由互为相反数的两数的和为零可得，由互为倒数的两数乘积为1可得，由，可得或，解得或，因此 ， 或. 注意在代值时，应把、分别当作一个整体. 例4 若，那么＝ . 析解：由于任何数的绝对值及偶次幂都是非负数，非负数之和为零，则各个非负数必定都为零，所以可得,，解得,，因此 . 四、整体思想. 整体思想与方程思想一样是学习数学必备的思想，它应用于数学的方方面面，在有关有理数的知识中同样处处用到整体思想. 如例2、例3中都用到了整体思想. c b a 0