选修2-2导数及其应用的教学建议.docVIP

选修2-2《导数及其应用》的教学建议 南平市高级中学 林奕生 （npsgjzx@163.com） 我们知道人教版A选修2-2中微积分的设计主线是：瞬间速度—变化率—导数—导数应用—定积分，这与传统大学中微积分的设计主线是不同的。在丢掉表达的精确与形式化的严谨后，进行微积分概念教学与复习，学生能否接受？能力如何培养？教学怎样切入？就理科2-2一章教学实践，从概念教学与教学切入点的角度谈几点建议。 适度解读概念，分层递进要求 1、对于极限概念：传统微积分教学中，导数、积分的概念都是用极限定义的，现在讲导数、积分要避开极限或是“没有极限下的导数”，是不妥的，因为，学生此前没接触过极限概念，现遇到了极限自然会产生疑问，为了帮助学生理解，教师就得描述、解释、举例、补充，实践说明，将函数极限知识提前上一些，淡化形式，重在极限思想的描述是可取的。注意“适度”提出函数的极限，不去追求理论上的抽象性和严谨性。 2、对于导数定义：在定义=给出后，可以给出定义的几种变化形式：=；以及 =；或=；而 ，当时，，所以。通过比较理解实 质。另外，在导数定义教学中要防止过量的技巧变形练习，避免造成学生过重的学习负担。 3、对于积分定义：定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的。它的解决过程充分体现了变量“由直到曲”、“由近似到精确”、“由有限到无限”的极限的思想方法，对于它的“四步曲”①分割、②替代、③求和、④取极限，教学中应对概念作进一步解读： （1）把闭区间［a，b］用n＋1个分点（包括两个端点）分为任意n个小区间，并非要求一定分成n等份，只是在有的问题中，为了解题方便，才用n等分的方法去布列分点。 （2）在每个小区间上，点的取法是任意的，它可以取在小区间的中点，即，也可以取在小区间的两个端点，即或，还可以取在小区间的其他任何位置（i＝1，2，…，n）。 （3）从几何意义上讲，（i＝1，2，…，n）表示以为底边，以为高的第i个小矩形的面积，而不是第i个小曲边梯形的面积，和式表示n个小 矩形的面积的和，而不是真正的曲边梯形的面积，但和式可以近似地表示曲 边梯形的面积，一般说来，分法越细，近似程度也就越高。 （4）总和取极限时的极限过程为“”（），当分割无限变细，即时，不一定能保证和式的极限值就是曲边梯形的面积，只有在分点无限增多的同时，保证每个小区间的长度也无限地缩小，才是真正的曲边梯形的面积。 澄清易混概念，达到拨乱反正 由于导数涉及函数的连续性、可导性、单调性及函数的极限等，学生往往会误认一些关系或结论，因此，教师要通过反例、图像、分析错解等，破解的学生臆造，达到拨乱反正之效。 导数为零的点与极值点。 “可导函数在处有极值则；反之，使的点却不一定能得出函数在有极值”。反例如下： 例1 函数在时有极值10，求实数、。 简析：答案是，而学生往往会多出一解。 不是函数单调递增的充要条件。 例2 函数在上单调递增，求实数的取值范围。 简析：则单调递增，但在一些孤立点处成立并不妨碍函数的单调性。如：有，但函数在R上单调递增。答案。 关注反向问题，培养逆向思维 用定积分定义求极限 例3 用积分定义计算：。 简析：由于在上连续，所以定积分存在。 ①[0，1]分成n个小段，即小矩形的宽, 而小矩形的高为：；②作和为：；③由定积分定义得：==。 2、由于导数是是高考必考内容，纵观2007课改区高考试卷，该类问题出现逆向思维题形，因此，不论教学或是作为复习，教师都得突出能力培养，强化综合训练。 例4（最值逆向问题）已知函数（为常数），若时，恒成立，求的范围。 简析：令，原命题等价于在上恒成立；有。求导得：列表表如下： 1 2 2 由表知函数在上的最大值为2，因此，， 解得：。 四、横向联系知识，变式综合应用 在中，体现数学与的有机结合，尽可能地运用解决相关问题，有意识地引导学生三角函数、数列、不等式、解析几何等中，使看到数学的作用。、是正整数，且，证明：。 简析：由所证不等式两边取自然对数并整理得：，令，则，当时，可推所以上为减函数，所以，即。 例6 （导数与概率）（辽宁省2007高考题） 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本与产量的函数关系式为该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况， 各种情形发生的概率及产品价格与产量的函数关系式如下表所示： 市场情形 概率 价格与产量的函数关系式 好 0.4 中 0.4 差 0.2 设分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量，表示当产量为，而市场前景无法确定的利润． （I）分别求利润与产量的函数关系式； （II）当产量确定时