全国通用2017届高考数学一轮总复习第八章立体几何8.4直线平面垂直的判定与性质课件理.ppt

知识清单 突破方法 栏目索引 知识清单 突破方法 栏目索引 知识清单 突破方法 栏目索引 §8.4　直线、平面垂直的判定与性质 高考理数 1.直线与平面垂直 (1)定义:如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的????任意一条????直线都垂直,则称这条直线和这个平面互相垂直. (2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的????两条相交????直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.用数学符号表示为若m?α,n?α,m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α. (3)性质定理:垂直于同一个平面的两直线平行. 2.平面与平面垂直 (1)定义:如果两个相交平面所成的二面角是????直角????,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理:一个平面过另一个平面的????垂线????,则这两个平面垂直. (3)性质定理:两个平面垂直,则一个平面内????垂直于交线????的直线与另一个平面垂直. 知识清单 ? 【知识拓展】 线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的关系: 　　证明直线和平面垂直的常用方法如下: (1)利用判定定理. (2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b,a⊥α?b⊥α). (3)利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β?a⊥β). (4)利用面面垂直的性质. (5)α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l?l⊥γ(客观题). (6)向量法:直线的方向向量a与平面的法向量m平行. 例1　如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M、N分别是AB、PC的中点. (1)求证:MN⊥CD; (2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD. 突破方法 方法1　线面垂直的判定 ? 解题导引????(1)取PD的中点E,连结AE,NE→证四边形AMNE为平行四边形→证CD⊥AE→ 由MN∥AE得结论 (2)证△PAD为等腰直角三角形→证AE⊥面PCD→由AE∥NM得结论 证明　(1)如图所示,取PD的中点E,连结AE、NE, ? ∵N为PC的中点, ∴NE∥CD且NE=?CD, 又AM∥CD且AM=?AB=?CD, ∴NE??AM,∴四边形AMNE为平行四边形,∴MN∥AE. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD, ∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥CD,而AD∩PA=A, ∴CD⊥平面PAD,又AE?平面PAD,∴CD⊥AE,又MN∥AE, ∴MN⊥CD. (2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AD, 又∠PDA=45°, ∴△PAD为等腰直角三角形,又E为PD的中点, ∴AE⊥PD,又由(1)知CD⊥AE,∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN,∴MN⊥平面PCD. 1-1????(2014辽宁,19,12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分别为AC,DC的中点. (1)求证:EF⊥BC; (2)求二面角E-BF-C的正弦值. ? 解析　(1)证法一:过E作EO⊥BC,垂足为O,连OF. 图1 由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC. 所以∠EOC=∠FOC=?,即FO⊥BC. 又EO⊥BC,因此BC⊥面EFO. 又EF?面EFO,所以EF⊥BC. 证法二:以B为坐标原点,在平面DBC内过B且垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B且垂直BC的直线为z轴,建立如图2所示空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,-1,?),D(?,-1, 0),C(0,2,0),因而E?,F?,所以,?=?,?=(0,2,0),因此?·?=0.从而 ?⊥?,所以EF⊥BC. ? 图2 (2)解法一:在图1中,过O作OG⊥BF,垂足为G,连EG.由平面ABC⊥平面BDC,从而EO⊥面BDC,又OG⊥BF,由三垂线定理知EG⊥BF. 因此∠EGO为二面角E-BF-C的平面角. 在△EOC中,EO=?EC=?BC·cos 30°=?, 由△BGO∽△BFC知,OG=?·FC=?, 因此tan∠EGO=?=2,从而sin∠EGO=?,即二面角E-BF-C的正弦值为?. 解法二:在图2中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1). 设平面BEF的法向量为n2=(x,y,z), 又?=?,?=?, 由?得其中一个n2=(1,-?,1). 设二面角E-BF-C的大小为θ,且由题意知θ为锐角,则 cos θ=|cosn1,n2|=???=?, 因此sin θ=?=?,即所求二面角的正弦值为?.