全国通用2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数教师用书文.doc

第四节　二次函数与幂函数 ———————————————————————————————— [考纲传真]　1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)； 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象 定义域 R 值域 单调性 在上减，在上增 在上增，在上减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 2.幂函数 (1)定义：形如y＝xα(αR)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)五种常见幂函数的图象与性质y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0)减， (0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)和 (0，＋∞)减 公共点 (1,1)  1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，xR，不可能是偶函数．(　　) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x[a，b]的最值一定是.(　　) (3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．(　　) (4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为(　　) A.　　 B．± C．± D．9 D　[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝. 所以f(x)＝x＝， 故f(m)＝＝3m＝9.] 3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. C　[由题意知即得a＞.] 4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(bR)零点的个数是(　　) A．0　　　　B．1 C．2　　　　D．4 C　[因为判别式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.] 5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________. 【导学号 y＝－x2＋2x＋8　[设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1， 当x＝1时，ymax＝－9a＝9，a＝－1，∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.] 求二次函数的解析式 　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【导学号 [解]　法一(利用一般式)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).2分 由题意得8分 解得 所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.12分 法二(利用顶点式)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n. f(2)＝f(－1)， 抛物线的图象的对称轴为x＝＝.3分 m＝.又根据题意函数有最大值8，n＝8. y＝f(x)＝a2＋8.8分 f(2)＝－1，a2＋8＝－1，解得a＝－4， f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.12分 法三(利用零点式)： 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，2分 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1.6分 又函数的最大值是8，即＝8， 解得a＝－4， 所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.12分 []　用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下 [变式训练1]　已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． [解]　f(2－x)＝f(2＋x)对xR恒成立， f(x)的对称轴为x＝2.2分 又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， f(x)＝0的两根为1和3.6分 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又f(x)的图象过点(4,3)， 3a＝3，a＝1.10分 所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)