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含参的线性规划问题分类解析 中学生数学?2011年4月上?第415期(高中) 广东省广州市第一中学(510163)庞新军 在线性约束条件下研究目标函数的最值 问题是一类常见的问题,约束条件和目标函数 中常涉及到一些参数,这些参数需通过最值问 题加以求解.下面举例说明,供同学们学习时 参考. 一 ,约束条件中的参数 1.已知最优解的个数,求参数的范围 例1线性目标函数—+在线性约束 fx+y一3≤0 条件2—≤0下取得最大值的最优解只 ly≤ 有一个,则实数n的取值范围为 解析根据题意, 画出可行域,如图1所 示,可求得A(1,2),将目 标函数=z+Y变形为 一一z+z,与边界线z +一3—0平行,而要使 最大值的最优解只有一图1 个,则分析图形知可行域只能为直线Y一2下 方的部分(含边界线),故实数n的取值范围为 (一..,2]. 评注运用数形结合思想,通过比较有关 直线的倾斜程度而直观求解. 2.已知参数值的范围,求最优解的范围 rz≥0 例2在约束条件 {享≤下,当3≤s l+2≤4 ≤5时,目标函数一3x+2y的最大值的变化 范围是() (A)E6,15](B)[-7,15] (c)[6,81(D)E7,81 解析由{x++2y=一s4=~/Ix一=24-一s4则由题 意知A(2,0),B(4一S,2s一4),C(0,s),D(0, 4).(1)当34s≤4可行 域是四边形0ABC,此 时,7≥z≥8;(2)当44 s≤5时可行域是 △0AD,此时z…一8. 由以上可知,正确答案 为(D). : \ \ D,,,\\\ \ 图2 评注探究参数问题的关键在懂得求最 优解的基础上,要密切注意在哪里取到最优 解,并弄清楚线性目标函数与边界线的斜率应 该满足什么关系. 二,目标函数中的参数 1.已知最优解无穷.求参数的值 例3已知三点A(5,2),B(1,1),C(3, 4),平面区域为△ABC的内部及边界,若使目 标函数z—az+取得最大值的最优解有无数 多个,求实数口的值. 解析画出符合 题意的图形,如图3所 示,将目标函数转化为 一一n+z.则若使 目标函数z—nz+Y 取得最大值的最优解 B A D 图3 有无数多个,必有一一n一是一要,或忌一一n 一 点一一1,即n一一或a一1. 评注若最优解有无穷多个,说明目标函 数的斜率等于某一边界线的斜率,则由此列出 方程而求出某系数的具体数值. 网址:ZXSS.chinajourna1.net.cn● 25●电子邮箱:zxss@chinajourna1.net.cn 恶 路 叙 珐 ◇ 寸鲞学 思 路 与 法 中学生数学?2011年4月上?第415期(高中) 2.已知最优解唯一.求参数的范围 例4已知变量X,Y满足约束条件1≤z +≤4,一2≤z—≤2.若目标函数z—az+ (其中agt;0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为. 解析本题是一个 逆向思维问题,已知变量 z,Y满足约束条件1≤z +≤4,一2≤z—≤2. 在坐标系中画出可行域, 如图4为四边形ABCD, 其中A(3,1),是AD一1,是彻 图4 7 4’ 评注本题主要考查线性规划的基础知 识,借助图形解题. 4.已知平面图形的面积,求参数的值 fz≥O 例6若不等式组z+3.y≥4所表示的平 l3x+y~4 面区域被直线一是z+分为面积相等的两部 分,则k的值是(). (A7(B)了3(o4(D) ,4 一一 1,目标函数—nz4-Y(其中agt;O)中的 表示斜率为一a的直线系中的截距的大小,若 仅在点(3,1)处取得最大值,则斜率应小于是加 一一 1,即一nlt;一1,所以n的取值范围为(1, +CXD). 评注由解决问题的过程可见,本题的难 度加大了,同学们需要良好的逆向思维\ f212+3v===4 由{3x+y一4得A(,), 又B(0,4),C(0,÷), U . ? . s△仙c一1(4一 4 )xl— 4 , 设一忌与3z+一4的交点为D, 则由SA~:D一1s△AB一 2知.一 丢, . —— 5 ‘ YD———2—’ . ? . 5 一惫x 1 十 4 , 是=7 , 正确答案为(A). 评注在问题设置上摆脱了线性规划问 题的常规模式,比较新颖,且很灵活,对学生的 综合运用知识能力要求较高. (责审王雷) 网址:zxss.chinajourna1.net.cI1● 26●电子邮箱:zxss@chinajourna1.net.Crl 寸蜜