厦大《数理经济学》讲义3.pdfVIP

厦门大学经济系 邵宜航 数理经济学精要 ——经济学中的最优化数学分析 非线性规划及其应用 （讲义要点） 第一章 非线性规划及其应用 §1.1 古典最优化：无约 §1.2 不等式约束最优化 束和等式约束问题 问题 1.1.1. 无约束最优化问 1.2.1. 一阶最优性条件 题 1.2.2. 二阶最优性条件 1.1.2. 等式约束最优化 1.2.3. 鞍点特征 问题 1.2.4. Lagrange乘子的 1.1.3. 经济学的简单应 经济学意义 用例 §1 非线性规划及其应用 2 第一章 非线性规划及其应用 §1.3 含等式、不等式约 §1.4 经济学中非线性规 束的最优化问题 划的应用 1.4.1. 单个经济主体的 决策分析 1.4.2. 竞争决策分析 §1 非线性规划及其应用 3 §1.1 古典最优化：无约束和等式约束问题 1.1.1. 无约束最优化问题 【定理1.1.1】（一阶必要条件）： 设开集D 上的函数f :D ⊂Rn →R 在D 上可微， 若x* ∈D 是局部极小（最优）点，则有∇f x * 0 。 ( ) §1 非线性规划及其应用 4 无约束最优化问题（续） 【定理1.1.2】（二阶必要条件）： 设开集D 上的函数f :D ⊂R n →R 在D 上二阶连 续可微。若x * ∈D 为局部极小点，则有 * T 2 * n ∇f x 0 ，d ∇ f x d ≥0 ，∀d ∈R 。 ( ) ( ) §1 非线性规划及其应用 5 无约束最优化问题（续） 【定理1.1.3】（二阶的充分条件）： 设f :D ⊂R n →R 在开集D 上二阶连续可微，则 x * ∈D 为严格局部极小点的充分条件是： * T 2 * n ∇f x 0 ，d ∇ f x d 0 ，∀d ∈R ，d ≠0 。