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维普资讯 第 l9卷 第4期 青海大学学报(自然科学版) Vo1．19No．4 2001年 8月 JournalofQinghaiU~versity Aug．2001 《高等代数》教学中需要注意的几个问题 宋瑞萍 (青海广播电视太学．青悔西宁 81~08) 摘要 本文基于近几年来 《高等代数》教学中学生容易忽视的地方和易犯的错误，总结出《高等 代数》教学中需要注意的几个问题。 关键词 非齐次线性方程组 矩阵 逻辑思堆 中图分类号：015 文献标识码：C 1 关于非齐次线性方程组解的结构 数域F上齐次线性方程组：∑ad ：0(f=1，2，…t)的垒体解向量构成P的一个子空间，称为 J=1 齐次线性方程组的解空间，方程组的一个基础解系就是其解空间的一个基 F上的非齐次线性方程组：∑aX，=b。 (i=1，2，…，m，6。不全为零) 』 1 设 是它的一个解， 是导出组的解空间，那么(1)的解集 s：j + ，但 s不是P 的子空间 因为，当(1)无解时，s= ，若有解；设 =(X，X，…，鼍)， =(Y，Y，…，Y)为 (1)的两个解，即 ∑n =b。，∑a =b。；所以，∑ (+ )=2b，(i=】，2，…，m)。又困为b，b，…，b不垒 』 l J=】 J=l 为零，所以至少有一个 b．≠0，从而2b≠b。(=1，2，…，m)。所以 + Es，故 s不是P 的子空间。这 一 点，学生容易忽视，解题时，常误写为 “非齐次线性方程组的解空间为……”。 事实上，(1)式的所有解 向量也可由它 自身的若干个线性无关的解向量来表示，即设 是(1)的一 个解向量， ，：，… …是它的导出组的一个基础解系，令 = ，-】=；。+ 一，芦…=。+；…， 则 ， ，… … 是(1)式的 —r+1个线性无关的解向量，并且(1)式的任一解 y都可以表示为：Y ：。+ +…+…芦…。其中∑k=1，这里 ，芦 一，…为非齐次线性方程组(I)的解向量 的一个极大线性无关组，r为系数矩阵的秩。 2 关于二次型的变量替换以及对称矩阵的合同 在化二次型f(x， ，…， )=XrA~,(其中：=( ， ，… )， =A)为标准形时，通常要求所作 的变量替换 = (P=( ) ，Y=(Y， ，…， ))是非退化的，即l芦l≠O，这是因为：变量替换 = 它相当于一个线性方程组 ： 】=P1lY 【4-P 2【 4- 2= 【Yj4-P 4- x ：P y14-P y2+ 收稿 日期：∞01—05．20 作者简介：宋瑞萍 (1963一)．女．安擞告肥人．讲师。 维普资讯 青海大学学报 第18卷 ． ． ．． ． ． ． ．． ． ． ．． ． ． ． ．． ． ． ．． ． ． ．． ． ． ． ．。 ． ． ． ． ． ．． 当l芦I≠O时，由Cromer法则，对任意 ( ，：，…， )都可得到唯一的