数学建模与数学实验第四讲§1.ppt

* §1 传染病模型 传染病的传播问题是现代人类社会十分关注的一类问题。建立传染病的数学模型，用来传染病的传播过程，分析被感染人数的变化规律，预报传染病高潮期的到来等等，一直是整个社会关注的问题。 人们不可能做传染病传播的试验来获取数据，从医疗卫生机构得到的资料也是不完整的和不充分的，所以通常是用机理分析的方法建立模型。 不同类型传染病传播过程的特点不同，弄清这些特点需要相当多的医学知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立数学模型。 为简单起见我们假设，在传染病传播期内所考察的地区总人数 N 不变，即不考虑生死和迁移，时间以天为单位。 模型 I：假设条件 1.人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective) 两类, 因此称为SI模型, 以下简称为健康者和病人。时刻 t 两类人在总人数中所占的比例分别为s (t) 和 i (t)。 2.每个病人每天有效接触的平均人数为λ(称为日接触率)当病人与健康者有效接触时, 使健康者被感染成为病人。 根据假设,每个病人每天可使λs (t)个健康者变为病人, 而病人数为N i (t), 所以每天有λs (t) N i (t) 个健康者被感染，于是λs N i 就是病人数N i的增加率， 即 又因为：s (t)+ i (t)=1，记初始时刻(t=0)病人的比例为i0 则 这个微分方程的形式在介绍人口增长的阻滞模型时介绍过, 称为Logistic模型, 并讨论过它的解, 即 i (t) ~ t 和 ~i 的图形为 o i t i o 1 1 图形 i(t)~t 图形 i0 tm 1/2 第一、当i =1/2时, 达到最大值, 此时 这时的病人数量增加的最快, 即预示传染病传播高潮的到来。tm是医疗卫生部门关注的时刻。tm与λ成反比, 由于日接触率λ(即病人平均每天有效接触的人数)表示该地区的环境卫生水平, λ越小环境卫生水平越高, 所以改善保健设施, 提高环境卫生水平可以推迟传染病传播高潮期的到来。 第二、当 t→∞时 i→1，即所有人最终都被传染为病人，这显然不符合实际情况。其原因在于模型中没有考虑病人可以被治愈或恢复健康的情况，这是SI模型的致命缺陷。 下面，改进SI模型。 模型II：有些传染病如感冒、痢疾等治愈后的免疫力极低，可能很快再次被传染，因此可以假定治愈后无免疫力。于是病人被治愈后成为健康者(易感染者)，所以这个模型称为SIS模型。 SIS模型的假设条件： 其1、2两条与SI模型相同。增加的假设条件为 3.病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ, 称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。那么, 1/ μ是这种传染病的平均传染期。 由假设3可以看出：SI模型中的病人数量Ni的增加率为λs (t) N i (t) -μN i (t) ，所以其微分方程为 于是我们得到其带初始条件的微分方程为 这个微分方程的解法与SI模型的微分方程解法是相同的，只是需要考虑λ与μ的关系。其解为 为了讨论这个模型的解，定义σ=λ/μ，由λ和1/μ的含义(λ为每个病人每天有效接触的平均人数, 即日接触率, 1/ μ是这种传染病的平均传染期 )可知, σ为一个传染期内每个病人有效接触的平均人数, 称为接触数。由上式可知：当t→∞时 根据以上讨论我们将病人数量的变化曲线描绘如下： i i o o t t 1-1/ σ σ 1 σ1 σ=1 σ≤1 i0 i0 i0 接触数σ=1是一个阈值。当σ≤1时, 即一个病人在一个传染期内传染健康者的数量不超过一个, 所以病人的比例数 i (t) 越来越少, 最终趋于零。而当σ1时, 即一个病人在一个传染期内传染健康者的数量超过一个, 当i0较小时, 病人数量会增加是容易理解的, 即 其表明一天内病人有效接触健康者的数量小于一天内治愈病人的数量, 故病人总数下降。 而在SI模型中, 相当于这里μ=0的情形, 即治愈率为零的情形。 病人有效接触健康者的绝对数量较大; 但当病人数量 i0较大时, 病人有效接触健康者的绝对数量较小, 实际使得健康者感染得病的机会大大减少。这就是当 i0较大时, 病人数量会减少, 而当 i0较小时, 病人数量会增加的实际意义。另外由 可以得出: 模型III：大多数传染病如天花、肝炎、麻疹等,其治愈后有很强的免疫力, 所以病愈的人既非健康者(易感