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数学教学的本质:教会学生思考
精品论文 参考文献
数学教学的本质:教会学生思考
李 青 上海市大团高级中学 201311
作为在教学第一线工作了几十年的一名高中数学教师,我常常在想:我们到底要教给学生些什么?知识、方法、培养数学能力?它们之间有怎样的联系?通过学习与思考,我感到数学教学的本质应该是教会学生数学思考,数学思考的核心是数学思想方法,思想方法是培养学生能力的有效途径。
数学思想是对数学事实、概念的本质认识,是数学知识、方法的提炼和概括。数学方法是数学思想在数学认识活动中的具体反映和体现,是处理探索解决数学问题、实现数学思想的手段和工具。数学思想和方法是高中数学基础知识重要的组成部分,是数学知识在更高层次上的抽象和概括,是学生形成良好的认知结构的纽带,是知识转化为技能的桥梁,是培养学生数学观念、形成优良思维素质的关键,是数学素养的核心。
在中学数学中常用的数学思想有:化归的思想,函数和方程的思想,分类讨论的思想,数形结合的思想。
一、化归的思想
数学中充满着各种矛盾,如等与不等、繁和简、难和易、一般和特殊、未知和已知等。通过转化可以化繁为简、化一般为特殊、化未知为已知,使矛盾得到解决。数学问题解决的过程,实际上是由条件向结论转化的过程,由条件先得出过渡的结论,然后一步一步转化,得到最后的结论。因此,化归是数学中最基本的思想。具体地分析,有加法和减法的转化、乘法和除法的转化、乘方和开方的转化、指数和对数的转化、高次向低次转化、多元向一元转化、三维向二维转化、无限向有限转化等。化归思想是中学数学中最为常用和重要的数学思想方法之一,运用这种思想可将不熟悉的问题转化为熟悉的问题,是用得最多、最广的数学思想方法。
例如:已知复数z满足2|z-3-3i|=|z|,求|z|的最大值和最小值。
分析:通过复数的各种表示(代数、三角、向量)为纽带,化归成不同形式的解题方法。
二、函数和方程的思想
函数在数学的发展过程中起着十分重要的作用,许多数学分支都是以函数为中心来开展研究的。在中学数学里,函数也起着主导的作用,处于核心地位,中学数学的许多内容与函数密切相关。例如,数列是以自然数集或其子集为定义域的函数;解析几何研究的曲线与方程其实是一类隐函数。
函数描述了自然界中量与量之间的依赖关系,函数思想是用联系和变化的观点,从实际问题中抽象出数量关系的特征,建立函数关系,从而研究变量的变化规律,是解决实际问题的有力工具。
函数方程思想是中学数学的又一重要而常见的思想方法,运用这种思想可将函数问题用方程的知识进行求解,方程问题也常常转化为函数问题来求解,体现了函数与方程之间的内在联系和密切关系。
在中学数学中,函数思想的应用主要体现在:
1.通过建模,把有关实际问题归结为函数问题。
例如:某单位用木料制造如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x、y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形。要求框架的总面积为8m2,问x、y分别为多少时用料最省?(精确到0.001)
分析:建立数学模型的关键是将框架用料的长度用函数表示出来,再利用条件“框架的总面积为8m2”可将问题转化为求函数的最值问题。
2.直接利用函数的有关性质,研究有关问题。
如:方程解的个数、证明不等式、求不等式恒成立时参数的取值范围等。
三、分类讨论的思想
当面临的数学问题不能以统一的形式寻求解决途径时,可以把问题分解为若干问题分别寻求解答,然后再综合起来得到原问题的解答。在中学数学里,给某些概念下定义和对某些概念进行归纳总结,某些定理的论证过程及结论的表现形式,研究解方程问题、不等式的证明与解不等式、函数单调性的判断与证明以及各种含有参数的问题等,分类与整合是一种十分有效的思想方法。
四、数形结合的思想
著名数学家苏步青教授说:“学习数学要多做习题,边做边思考,先知其然,然后弄清其所以然。”在做完一道题后,应该体会数学方法和思想,解题后要注意思考解题运用的是哪一种数学方法、渗透了什么思想,以达到举一反三、触类旁通的目的。经常进行这样的思考和分析,有利于提高学生的数学能力。
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