点集拓扑学-集合论初步.pptVIP

宁德师专数学系 宁德师范高等专科学校 “麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。  拓扑的来源 “拓扑（Topology）”一次来自希腊文，它的原意是“形状的研究”。拓扑学时几何学的一个分支，它研究在拓扑变换下能够保持不变的几何属性——拓扑属性。 拓 扑 学 的 形 成 和 发 展 拓扑学是研究图形在保持连续状态下变形时的那些不变的性质，也成为“橡皮板几何学”。 例子： 设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里的平面，这块橡皮可以任意被拉伸、压缩，但是不能够被扭转或折叠。在橡皮的表面上有由结点、弧、环、面组成的可能任意图形。 我们对橡皮进行拉伸、压缩，在橡皮进行这些变换的过程中，图形的一些属性消失，一些属性将继续保持存在。设想象皮表面有一个多边形，里面有一个点。 当拉伸、压缩橡皮时，点依旧在多边形中，点和多边形的位置关系不会发生变化，但是多边形的面积会发生变化。所以：“点的内置”是拓扑属性，而面积不是拓扑属性，拉伸和压缩就是拓扑变换。 在地图上仅用距离和方向参数描述地图上的目标之间的关系总是不圆满的。 因为图上两点之间的距离和方向会随着地图投影的不同而发生变化，故仅用距离和方向参数还不能够确切地表示它们之间的空间关系。（如下图） 拓扑还是描述目标间关系需要 Longitude/Latitude投影 Gauss-Krivger投影 从上图可以看出，用拓扑关系表示，不论怎么变化，其邻接、关联、包含等关系都不改变。拓扑关系能够从质的方面和整体的概念上反映空间实体的空间结构关系。 研究拓扑关系对于地图数据处理和正确显示将是十分重要的。 黎曼创立黎曼几何以后把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 拓扑学的发展的促进 二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。 拓扑学发展到今天，在理论上已经分成了两个分支： 点集拓扑学偏重于用分析的方法来研究，或者叫做分析拓扑学 代数拓扑是偏重于用代数方法来研究。 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。 这两个分支现在又有统一的趋势 第一章 预 备 知 识 本章教学基本要求 本章是点集拓扑学的预备知识，要求熟练掌握集合运算,等价关系等相关概念、性质和运算法则；掌握集族的概念和相关定义,理解等价类、映射和乘积空间以及乘积空间到分空间的 自然投射等概念；理解笛卡儿乘积和相关概念. 重点：等价关系；等价类；映射. 难点：等价类。 一. 关系 定义1: 设X和Y是两个集合．称集合: {（x，y）|x∈X，y∈Y} 为X 与Y 的笛卡儿Descartes积，记作X×Y， 其中(x，y)是一个有序偶，x称为（x，y）的第一个坐标，y称为（x，y）的第二个坐标．X 称为X×Y 的第一个坐标集，Y 称为X×Y的第二个坐标集． §1.1 等 价 关 系 集合X与自身的笛卡儿积X×X称为X的二重（笛卡儿）积，通常简单记作 1. 关系的定义 设X，Y 是两个集合．如果R是Descartes积X×Y的一个子集，即 ． 定义2: 则称R是从X到Y的一个关系． 说明 如果(x，y）∈R，则我们称x与y 是R相关的，并且记作xRy ． 如果 ,则Y 的子集 { y∈Y |存在x∈A, s.t xRy }称为集合A对于 关系R而言的象集,记作R(A) 特别的：R(X)称为关系R的值域 两个特别简单的从集合X到集合Y的关系，一个是X×Y 本身，另一个是空集 2. 关系的运算 设R 是从集合X 到集合Y 的一个关系，则笛卡儿积Y×X的子集 关系的逆运算 是从集合Y到集合X的一个关系，称它为关系R的逆运算，并且记作 如果 ,则X 的子集 是集合B的象 称它为集合B 对于关系R 而言的原象，特别的 关系 的值域 称为R的定义域 关系的复合运算 设R是从某个X到集合Y的一个关系， S是从集合Y到集合Z的一个关系，则集合: 是笛卡儿积X×Z的一个子集，是从集合X到集合 Z的一个关系 ,称为关系R与S的复合